Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 (atenção: 2 não é 2 \pi), satisfazendo:
f(0)=0 e f(1)=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem para escrever uma função periódica, não-constante.
  • O período mínimo de repetição dessa função deve ser igual a 2 (atenção: não é 2\pi, é o número 2).
  • A função deve satisfazer f(0)=0 e f(1)=0.
Ou seja: preciso apresentar uma fórmula f(x) tal que ela seja periódica com menor período positivo igual a 2, não seja constante e valha zero em x=0 e x=1.

Passo 2

Sugestão natural: funções trigonométricas são ótimas candidatas porque têm períodos bem conhecidos. Vou testar a função
f(x)=\sin(\pi x).
Primeiro vejo se ela satisfaz as condições nos pontos solicitados:
f(0)=\sin(\pi\cdot 0)=\sin(0)=0, \qquad f(1)=\sin(\pi\cdot 1)=\sin(\pi)=0.
Logo, f(0)=0 e f(1)=0 estão satisfeitas.

Passo 3

Verificar que f é periódica com período 2:
Calculo f(x+2):
f(x+2)=\sin\bigl(\pi(x+2)\bigr)=\sin(\pi x+2\pi).
Como \sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta) para todo \theta, segue que
f(x+2)=\sin(\pi x)=f(x)
para todo x. Portanto 2 é um período de f.

Passo 4

Mostrar que 2 é o período mínimo (ou seja, não existe T com 0<T<2 tal que f(x+T)=f(x) para todo x):
Suponha que exista T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x. Então
\sin\bigl(\pi(x+T)\bigr)=\sin(\pi x)\qquad\text{para todo }x.
Isto significa que, para toda \alpha (trocando \alpha=\pi x),
\sin(\alpha+\pi T)=\sin(\alpha)\qquad\text{para todo }\alpha.
Usando a identidade de diferença de senos:
\sin(\alpha+\pi T)-\sin(\alpha)=2\cos\!\left(\alpha+\tfrac{\pi T}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{\pi T}{2}\right)=0
para todo \alpha. A função \cos\!\left(\alpha+\tfrac{\pi T}{2}\right) varia com \alpha, então a única maneira dessa igualdade valer para todo \alpha é que o fator \sin\!\left(\tfrac{\pi T}{2}\right) seja zero. Assim
\sin\!\left(\tfrac{\pi T}{2}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{\pi T}{2}=m\pi\quad\text{para algum }m\in\mathbb{Z}.
Então \pi T = 2m\pi, logo T=2m. Como T>0, o menor valor possível é obtido com m=1, dando T=2. Portanto não existe T com 0<T<2 que seja período, e assim o período mínimo (fundamental) de f é 2.

Passo 5

Verificar que a função não é constante:
Basta encontrar um ponto onde f difere de 0. Por exemplo,
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sin\!\left(\pi\cdot\tfrac{1}{2}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1\neq 0.
Logo f não é constante.

Passo 6

Resumo e conclusão: a função f(x)=\sin(\pi x) satisfaz f(0)=0, f(1)=0, é periódica com período 2 e este é o menor período positivo (função não-constante).

Resposta

f(x)=\sin(\pi x)

Exercícios relacionados