Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 (atenção: 2 não é
), satisfazendo:
e
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem para escrever uma função periódica, não-constante.
- O período mínimo de repetição dessa função deve ser igual a
(atenção: não é , é o número ). - A função deve satisfazer
e .
Ou seja: preciso apresentar uma fórmula
tal que ela seja periódica com menor período positivo igual a
, não seja constante e valha zero em
e
.
Passo 2
Sugestão natural: funções trigonométricas são ótimas candidatas porque têm períodos bem conhecidos. Vou testar a função
Primeiro vejo se ela satisfaz as condições nos pontos solicitados:
Logo,
e
estão satisfeitas.
Passo 3
Verificar que
é periódica com período
:
Calculo
:
Como
para todo
, segue que
para todo
. Portanto
é um período de
.
Passo 4
Mostrar que
é o período mínimo (ou seja, não existe
com
tal que
para todo
):
Suponha que exista
tal que
para todo
. Então
Isto significa que, para toda
(trocando
),
Usando a identidade de diferença de senos:
para todo
. A função
varia com
, então a única maneira dessa igualdade valer para todo
é que o fator
seja zero. Assim
Então
, logo
. Como
, o menor valor possível é obtido com
, dando
. Portanto não existe
com
que seja período, e assim o período mínimo (fundamental) de
é
.
Passo 5
Verificar que a função não é constante:
Basta encontrar um ponto onde
difere de
. Por exemplo,
Logo
não é constante.
Passo 6
Resumo e conclusão: a função
satisfaz
,
, é periódica com período
e este é o menor período positivo (função não-constante).