Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 (atenção: 2 não é 2 \pi), satisfazendo:
f(0)=0 e f(1)=1

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.
  • Pede para construir uma função periódica não-constante com período mínimo de repetição igual a 2.
  • Precisa satisfazer os valores f(0)=0 e f(1)=1.
  • Não há outras restrições (por exemplo continuidade, derivabilidade etc.), então posso escolher uma construção simples e explícita.

Passo 2

Relembrando definições úteis (de forma curtinha e prática).
  • Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é periódica de período T>0 se vale
f(x+T)=f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • O período mínimo (ou período fundamental) é o menor T>0 que satisfaz isso. Se existir um T>0 menor que outro que satisfaça a igualdade, então o menor é o período mínimo.
  • Para mostrar que uma função tem período mínimo igual a 2 é suficiente:
    1. Construir f com f(x+2)=f(x) para todo x.
    2. Provar que nenhum T com 0<T<2 é período (ou seja, que não pode ocorrer f(x+T)=f(x) para todo x).

Passo 3

Escolha e definição construtiva da função (ideia e fórmula).
Vou construir a típica “onda triangular” de período [2). Primeiro defino a função em [0,2) e depois a estendo periodicamente com período 2.
Definição em [0,2):
f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x\le 1,\\[4pt] 2-x, & 1<x<2. \end{cases}
Extensão periódica: para todo x\in\mathbb{R}\] escrevo \(\rho(x)=x-2\lfloor x/2\rfloor (o resto de x ao dividir por 2, portanto \rho(x)\in[0,2)) e defino
f(x)= \begin{cases} \rho(x), & 0\le \rho(x)\le 1,\\[4pt] 2-\rho(x), & 1<\rho(x)<2. \end{cases}]

Passo 4

Verificação dos valores pedidos f(0)=0 e f(1)=1.
  • Para x=0 temos \rho(0)=0, então f(0)=\rho(0)=0.
  • Para x=1 temos \rho(1)=1, que cai no primeiro ramo, então f(1)=\rho(1)=1.
Portanto os requisitos f(0)=0 e f(1)=1 estão atendidos.

Passo 5

Mostrando que a função é periódica com período 2.
Pela construção com \rho(x)=x-2\lfloor x/2\rfloor vemos que \rho(x+2)=\rho(x) para todo x. Como f é definida apenas em função de \rho(x), obtemos
f(x+2)=f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
logo 2 é um período da função.

Passo 6

Mostrando que o período mínimo é exatamente 2 (ou seja, nenhum T com 0<T<2 funciona).
Suponha, por contradição, que exista T com 0<T<2 tal que f(x+T)=f(x) para todo x.
  • Caso 0<T<1: então \rho(T)=T (porque T\in(0,1)), portanto f(T)=\rho(T)=T. Mas se T fosse período, deveríamos ter f(T)=f(0)=0. Assim T=0, contradizendo T>0. Logo esse caso é impossível.
  • Caso T=1: então, se 1 fosse período, deveríamos ter f(1)=f(1+1)=f(2). Como f(1)=1 e f(2)=f(0)=0, isso seria 1=0, absurdo. Portanto T\neq 1.
  • Caso 1<T<2: então \rho(T)=T\in(1,2) e, pelo segundo ramo, f(T)=2-\rho(T)=2-T. Se T fosse período então f(T)=f(0)=0, o que implicaria 2-T=0, i.e. T=2, contradizendo T<2.
Em todos os subcasos obtivemos contradição, logo não existe T com 0<T<2 que seja período. Portanto o menor período positivo é 2.

Passo 7

Verificando que a função é não-constante e conclusão amigável.
  • A função não é constante porque f(0)=0 e f(1)=1 são valores diferentes.
  • Resumindo: a construção dá uma função periódica, não-constante, com f(0)=0, f(1)=1 e período mínimo igual a 2.
Força aí! Essa onda triangular é uma construção padrão e muito prática para provas: fácil de escrever, fácil de verificar propriedades e difícil de confundir com algo de período menor.

Resposta

f(x)= \begin{cases} \rho(x), & 0\le \rho(x)\le 1,\\[4pt] 2-\rho(x), & 1<\rho(x)<2, \end{cases} \quad\text{onde}\quad \rho(x)=x-2\bigl\lfloor\tfrac{x}{2}\bigr\rfloor.]

Exercícios relacionados