Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 (atenção: 2 não é
), satisfazendo:
e
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos.
- Pede para construir uma função periódica não-constante com período mínimo de repetição igual a
. - Precisa satisfazer os valores
e . - Não há outras restrições (por exemplo continuidade, derivabilidade etc.), então posso escolher uma construção simples e explícita.
Passo 2
Relembrando definições úteis (de forma curtinha e prática).
- Uma função
é periódica de período se vale
- O período mínimo (ou período fundamental) é o menor
que satisfaz isso. Se existir um menor que outro que satisfaça a igualdade, então o menor é o período mínimo. - Para mostrar que uma função tem período mínimo igual a
é suficiente: - Construir
com para todo . - Provar que nenhum
com é período (ou seja, que não pode ocorrer para todo ).
- Construir
Passo 3
Escolha e definição construtiva da função (ideia e fórmula).
Vou construir a típica “onda triangular” de período [2). Primeiro defino a função em
e depois a estendo periodicamente com período
.
Definição em
:
Extensão periódica: para todo
(o resto de
ao dividir por
, portanto
) e defino
Passo 4
Verificação dos valores pedidos
e
.
- Para
temos , então . - Para
temos , que cai no primeiro ramo, então .
Portanto os requisitos
e
estão atendidos.
Passo 5
Mostrando que a função é periódica com período
.
Pela construção com
vemos que
para todo
. Como
é definida apenas em função de
, obtemos
logo
é um período da função.
Passo 6
Mostrando que o período mínimo é exatamente
(ou seja, nenhum
com
funciona).
Suponha, por contradição, que exista
com
tal que
para todo
.
-
Caso
: então (porque ), portanto . Mas se fosse período, deveríamos ter . Assim , contradizendo . Logo esse caso é impossível. -
Caso
: então, se fosse período, deveríamos ter . Como e , isso seria , absurdo. Portanto . -
Caso
: então e, pelo segundo ramo, . Se fosse período então , o que implicaria , i.e. , contradizendo .
Em todos os subcasos obtivemos contradição, logo não existe
com
que seja período. Portanto o menor período positivo é
.
Passo 7
Verificando que a função é não-constante e conclusão amigável.
- A função não é constante porque
e são valores diferentes. - Resumindo: a construção dá uma função periódica, não-constante, com
, e período mínimo igual a .
Força aí! Essa onda triangular é uma construção padrão e muito prática para provas: fácil de escrever, fácil de verificar propriedades e difícil de confundir com algo de período menor.