Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 (atenção: 2 não é 2 \pi), satisfazendo:
f(0)=1 e f(1)=-1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedir: construir uma função periódica não-constante cujo período mínimo de repetição seja igual a 2.
  • Condições adicionais: f(0)=1 e f(1)=-1.
  • Informação implícita: o número 2 é o período no sentido usual (ou seja, se T é período então f(x+T)=f(x) para todo x), e deve ser o menor período positivo possível (período fundamental).

Passo 2

Definições e ideias básicas (explicação didática):
  • Uma função f é periódica com período T>0 se, para todo x, vale
f(x+T)=f(x).
  • O período mínimo (ou período fundamental) é o menor T>0 que satisfaz a igualdade acima; se existir um t com 0<t<T e f(x+t)=f(x) para todo x, então T não é mínimo.
  • Estratégia prática: escolher uma função trigonométrica simples, porque funções como \cos e \sin são naturalmente periódicas e fáceis de ajustar por escala horizontal para obter o período desejado.

Passo 3

Escolha do candidato e razão da escolha:
  • A função cosseno tem período 2\pi: \cos(x+2\pi)=\cos x.
  • Se escalarmos a variável por um fator k, a função \cos(kx) tem período \dfrac{2\pi}{k}.
  • Para obter período 2 queremos \dfrac{2\pi}{k}=2, ou seja k=\pi. Portanto um candidato natural é
f(x)=\cos(\pi x).

Passo 4

Verificação das condições f(0)=1 e f(1)=-1 e não-constância:
  • Avaliando em 0:
f(0)=\cos(\pi\cdot 0)=\cos 0=1.
  • Avaliando em 1:
f(1)=\cos(\pi\cdot 1)=\cos \pi=-1.
  • A função não é constante porque, por exemplo,
f(0)=1\quad\text{e}\quad f\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,
valores diferentes mostram variação.

Passo 5

Verificação de que f é periódica de período 2:
  • Pelo fato de \cos ter período 2\pi,
f(x+2)=\cos\bigl(\pi(x+2)\bigr)=\cos(\pi x+2\pi)=\cos(\pi x)=f(x)
para todo x. Logo 2 é um período.

Passo 6

Prova de que 2 é o período mínimo (não existe período positivo menor que 2):
  • Suponha p>0 é período de f, isto é f(x+p)=f(x) para todo x.
  • Em particular, para x=0 obtemos f(p)=f(0)=1, isto é
\cos(\pi p)=1.
  • A equação \cos(\pi p)=1 ocorre exatamente quando \pi p = 2\pi k com k\in\mathbb{Z}, ou seja p=2k.
  • Entre os números positivos menores que 2 não existe nenhum p da forma 2k com k\in\mathbb{Z} (o único k\ge 0 que dá p\ge 0 é k=0 que dá p=0). Portanto não existe período positivo menor que 2.
  • Conclusão: 2 é o menor período positivo, isto é, o período mínimo da função.

Resposta

f(x)=\cos(\pi x)

Exercícios relacionados