Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 (atenção: 2 não é
), satisfazendo:
e
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedir: construir uma função periódica não-constante cujo período mínimo de repetição seja igual a
. - Condições adicionais:
e . - Informação implícita: o número
é o período no sentido usual (ou seja, se é período então para todo ), e deve ser o menor período positivo possível (período fundamental).
Passo 2
Definições e ideias básicas (explicação didática):
- Uma função
é periódica com período se, para todo , vale
- O período mínimo (ou período fundamental) é o menor
que satisfaz a igualdade acima; se existir um com e para todo , então não é mínimo. - Estratégia prática: escolher uma função trigonométrica simples, porque funções como
e são naturalmente periódicas e fáceis de ajustar por escala horizontal para obter o período desejado.
Passo 3
Escolha do candidato e razão da escolha:
- A função cosseno tem período
: . - Se escalarmos a variável por um fator
, a função tem período . - Para obter período
queremos , ou seja . Portanto um candidato natural é
Passo 4
Verificação das condições
e
e não-constância:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
- A função não é constante porque, por exemplo,
valores diferentes mostram variação.
Passo 5
Verificação de que
é periódica de período
:
- Pelo fato de
ter período ,
para todo
. Logo
é um período.
Passo 6
Prova de que
é o período mínimo (não existe período positivo menor que
):
- Suponha
é período de , isto é para todo . - Em particular, para
obtemos , isto é
- A equação
ocorre exatamente quando com , ou seja . - Entre os números positivos menores que
não existe nenhum da forma com (o único que dá é que dá ). Portanto não existe período positivo menor que . - Conclusão:
é o menor período positivo, isto é, o período mínimo da função.