Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 (atenção: 2 não é 2 \pi), satisfazendo: f(0)=5 e f(1)=0
Passo 1
O que o problema pede e o que já temos:
Pede-se uma função periódica não-constante cujo período mínimo de repetição seja 2.
Além disso essa função deve satisfazer f(0)=5 e f(1)=0.
Observação importante: o período desejado é o número 2 (não é 2\pi nem outro).
Passo 2
Conceitos básicos necessários (explicação curta e amigável):
Uma função g é periódica de período T>0 se vale
g(x+T)=g(x)\quad\text{para todo }x.
O período mínimo (ou fundamental) é o menor T>0 que satisfaz isso.
Se h(x) tem período T, então a\cdot h(x) (com a\neq0) e a\cdot h(x)+b (com b constante) também têm período T. Multiplicar por uma constante muda a amplitude; somar uma constante desloca verticalmente — nada disso quebra a repetição no eixo x.
Uma boa família de funções periódicas simples são as trigonométricas. A função \cos x tem período 2\pi. Logo, \cos(\pi x) tem período 2 porque basta resolver \pi(x+T)=\pi x+2\pi k (veja passo seguinte).
Passo 3
Verificando o período de \cos(\pi x) e a minimalidade:
A condição para T ser período de \cos(\pi x) é
\cos\bigl(\pi(x+T)\bigr)=\cos(\pi x)\quad\text{para todo }x.
Isso equivale a exigir que exista um inteiro k tal que
\pi T = 2\pi k \quad\Rightarrow\quad T=2k.
O menor T>0 obtido aqui é T=2 (tomando k=1). Assim \cos(\pi x) tem período mínimo 2.
Nota prática: T=1 não funciona porque \cos(\pi(x+1))=\cos(\pi x+\pi)=-\cos(\pi x), que só coincide com \cos(\pi x) para alguns x, não para todo x.
Passo 4
Escolha de uma forma simples que permita aplicar as condições:
Vamos usar a forma geral
f(x)=C\cos(\pi x)+D,
com C e D constantes. Por que essa escolha?
Porque \cos(\pi x) já tem período mínimo 2.
Multiplicar por C (com C\neq0) e somar D preservam o período mínimo 2 e permitem ajustar valores em pontos específicos (como x=0 e x=1).
Precisamos agora determinar C e D para que f(0)=5 e f(1)=0.
Passo 5
Aplicando as condições e resolvendo o sistema linear:
Calcule f(0)\):
\[f(0)=C\cos(0)+D=C\cdot 1 + D = C+D.
A condição f(0)=5 dá
C+D=5. \tag{1}
Calcule f(1):
f(1)=C\cos(\pi)+D=C\cdot(-1)+D = -C+D.
A condição f(1)=0 dá
-C+D=0. \tag{2}
Resolver o sistema (\begin{cases}C+D=5\\\\ -C+D=0\end{cases}]. Somando (1) e (2) obtemos 2D=5 \quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{5}{2}.
Substituindo em (1):
C = 5 - D = 5 - \tfrac{5}{2} = \tfrac{5}{2}.
Passo 6
Escrevendo a função encontrada e verificando propriedades:
Assim temos
f(x)=\tfrac{5}{2}\cos(\pi x)+\tfrac{5}{2}.
Verificação rápida dos pontos:
f(0)=\tfrac{5}{2}\cdot 1 + \tfrac{5}{2} = 5.
f(1)=\tfrac{5}{2}\cdot (-1) + \tfrac{5}{2} = 0.
A função não é constante porque o coeficiente da \cos é \tfrac{5}{2}\neq0 (há variação).
O período mínimo permanece 2 porque \cos(\pi x) tem período mínimo 2 e multiplicações/somas por constantes não reduzem esse período.
Passo 7
Comentário final e dica rápida (um empurrãozinho encorajador):
Pronto! A construção com \cos(\pi x) é muito prática quando se quer período 2. Se gostar, pode tentar outras formas (por exemplo A\sin(\pi x)+B não funciona diretamente para estes pontos porque \sin(0)=0 e \sin(\pi)=0, mas combinações lineares de \sin e \cos também dão liberdade). Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no raciocínio passo a passo.