Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 (atenção: 2 não é 2 \pi), satisfazendo:
f(0)=5 e f(1)=0

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos:
  • Pede-se uma função periódica não-constante cujo período mínimo de repetição seja 2.
  • Além disso essa função deve satisfazer f(0)=5 e f(1)=0.
  • Observação importante: o período desejado é o número 2 (não é 2\pi nem outro).

Passo 2

Conceitos básicos necessários (explicação curta e amigável):
  • Uma função g é periódica de período T>0 se vale
g(x+T)=g(x)\quad\text{para todo }x.
  • O período mínimo (ou fundamental) é o menor T>0 que satisfaz isso.
  • Se h(x) tem período T, então a\cdot h(x) (com a\neq0) e a\cdot h(x)+b (com b constante) também têm período T. Multiplicar por uma constante muda a amplitude; somar uma constante desloca verticalmente — nada disso quebra a repetição no eixo x.
  • Uma boa família de funções periódicas simples são as trigonométricas. A função \cos x tem período 2\pi. Logo, \cos(\pi x) tem período 2 porque basta resolver \pi(x+T)=\pi x+2\pi k (veja passo seguinte).

Passo 3

Verificando o período de \cos(\pi x) e a minimalidade:
  • A condição para T ser período de \cos(\pi x) é
\cos\bigl(\pi(x+T)\bigr)=\cos(\pi x)\quad\text{para todo }x.
  • Isso equivale a exigir que exista um inteiro k tal que
\pi T = 2\pi k \quad\Rightarrow\quad T=2k.
  • O menor T>0 obtido aqui é T=2 (tomando k=1). Assim \cos(\pi x) tem período mínimo 2.
  • Nota prática: T=1 não funciona porque \cos(\pi(x+1))=\cos(\pi x+\pi)=-\cos(\pi x), que só coincide com \cos(\pi x) para alguns x, não para todo x.

Passo 4

Escolha de uma forma simples que permita aplicar as condições:
  • Vamos usar a forma geral
f(x)=C\cos(\pi x)+D,
com C e D constantes. Por que essa escolha?
  • Porque \cos(\pi x) já tem período mínimo 2.
  • Multiplicar por C (com C\neq0) e somar D preservam o período mínimo 2 e permitem ajustar valores em pontos específicos (como x=0 e x=1).
  • Precisamos agora determinar C e D para que f(0)=5 e f(1)=0.

Passo 5

Aplicando as condições e resolvendo o sistema linear:
  • Calcule f(0)\): \[f(0)=C\cos(0)+D=C\cdot 1 + D = C+D.
A condição f(0)=5
C+D=5. \tag{1}
  • Calcule f(1):
f(1)=C\cos(\pi)+D=C\cdot(-1)+D = -C+D.
A condição f(1)=0
-C+D=0. \tag{2}
  • Resolver o sistema ( \begin{cases}C+D=5\\\\ -C+D=0\end{cases}]. Somando (1) e (2) obtemos
    2D=5 \quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{5}{2}.
  • Substituindo em (1):
C = 5 - D = 5 - \tfrac{5}{2} = \tfrac{5}{2}.

Passo 6

Escrevendo a função encontrada e verificando propriedades:
  • Assim temos
f(x)=\tfrac{5}{2}\cos(\pi x)+\tfrac{5}{2}.
  • Verificação rápida dos pontos:
    • f(0)=\tfrac{5}{2}\cdot 1 + \tfrac{5}{2} = 5.
    • f(1)=\tfrac{5}{2}\cdot (-1) + \tfrac{5}{2} = 0.
  • A função não é constante porque o coeficiente da \cos é \tfrac{5}{2}\neq0 (há variação).
  • O período mínimo permanece 2 porque \cos(\pi x) tem período mínimo 2 e multiplicações/somas por constantes não reduzem esse período.

Passo 7

Comentário final e dica rápida (um empurrãozinho encorajador):
  • Pronto! A construção com \cos(\pi x) é muito prática quando se quer período 2. Se gostar, pode tentar outras formas (por exemplo A\sin(\pi x)+B não funciona diretamente para estes pontos porque \sin(0)=0 e \sin(\pi)=0, mas combinações lineares de \sin e \cos também dão liberdade). Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no raciocínio passo a passo.

Resposta

f(x)=\dfrac{5}{2}\cos(\pi x)+\dfrac{5}{2}

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