Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 \pi, satisfazendo:
f(0)=0 e f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede uma função periódica não-constante cujo período mínimo de repetição seja exatamente 2\pi.
  • Além disso a função deve satisfazer os valores f(0)=0 e f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-1.

Passo 2

Lembrando conceitos importantes (vai ajudar na prova):
  • Uma função f é periódica de período T>0 se vale
f(x+T)=f(x)\quad\text{para todo }x.
  • Um período T é mínimo (ou fundamental) se for o menor número positivo que satisfaz isso.
  • Funções trigonométricas básicas: \sin x e \cos x têm período 2\pi (e são não-constantes). Valores fundamentais:
\sin 0 = 0,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 3

Procurando uma função simples que satisfaça as duas condições sobre os valores:
  • Queremos f(0)=0. Como \sin 0=0, uma boa ideia é usar uma combinação de \sin x.
  • Queremos f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-1. Como \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, a escolha natural que produz -1 é multiplicar por -1.
    Portanto uma candidata simples é
f(x) = -\sin x.

Passo 4

Verificação direta dos valores pedidos:
  • Avaliando em 0:
f(0) = -\sin 0 = -0 = 0,
logo f(0)=0.
  • Avaliando em \tfrac{\pi}{2}:
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -1,
logo f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-1.
As duas condições do enunciado ficam satisfeitas.

Passo 5

Verificação de que f é periódica e que o período mínimo é 2\pi:
  • A função \sin x satisfaz \sin(x+2\pi)=\sin x para todo x, portanto -\sin x também satisfaz
-\sin(x+2\pi) = -\sin x,
ou seja, 2\pi é um período de f.
  • Para mostrar que 2\pi é o período mínimo, suponha que exista um T>0 tal que -\sin(x+T)=-\sin x para todo x. Isso equivale a \sin(x+T)=\sin x para todo x.
    • Tomando x=0 obtém-se \sin T = 0, logo T = k\pi para algum inteiro k.
    • Tomando x=\tfrac{\pi}{2} obtém-se \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+T\right)=1. Os pontos onde \sin vale 1 são \tfrac{\pi}{2}+2m\pi, logo
    \tfrac{\pi}{2}+T = \tfrac{\pi}{2} + 2m\pi \quad\Rightarrow\quad T = 2m\pi.
    • Combinando as duas conclusões ( T=k\pi e T=2m\pi ) vemos que o menor T>0 que satisfaz ambas é T=2\pi.
      Portanto 2\pi é o menor período positivo de f.

Passo 6

Verificação de que f é não-constante:
  • A função -\sin x varia com x: por exemplo -\sin 0=0 e -\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-1, valores distintos. Logo não é constante.

Resposta

f(x)=-\sin x

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