Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a
, satisfazendo:
e
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede uma função periódica não-constante cujo período mínimo de repetição seja exatamente
. - Além disso a função deve satisfazer os valores
e .
Passo 2
Lembrando conceitos importantes (vai ajudar na prova):
- Uma função
é periódica de período se vale
- Um período
é mínimo (ou fundamental) se for o menor número positivo que satisfaz isso. - Funções trigonométricas básicas:
e têm período (e são não-constantes). Valores fundamentais:
Passo 3
Procurando uma função simples que satisfaça as duas condições sobre os valores:
- Queremos
. Como , uma boa ideia é usar uma combinação de . - Queremos
. Como , a escolha natural que produz é multiplicar por .
Portanto uma candidata simples é
Passo 4
Verificação direta dos valores pedidos:
- Avaliando em
:
logo
.
- Avaliando em
:
logo
.
As duas condições do enunciado ficam satisfeitas.
As duas condições do enunciado ficam satisfeitas.
Passo 5
Verificação de que
é periódica e que o período mínimo é
:
- A função
satisfaz para todo , portanto também satisfaz
ou seja,
é um período de
.
- Para mostrar que
é o período mínimo, suponha que exista um tal que para todo . Isso equivale a para todo . - Tomando
obtém-se , logo para algum inteiro . - Tomando
obtém-se . Os pontos onde vale são , logo
- Combinando as duas conclusões (
e ) vemos que o menor que satisfaz ambas é .
Portantoé o menor período positivo de .
- Tomando
Passo 6
Verificação de que
é não-constante:
- A função
varia com : por exemplo e , valores distintos. Logo não é constante.