Escreva a função em termos das funções degrau e calcule sua transformada de Laplace:
g(t)=cle^-t, & se 0 <= t<5 -1, & se t >= 5

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(t)=e^-t,&0<= t<5,-1,&t>=5,
e pede (a) reescrevê-la com funções degrau unitário u(t-a) e (b) calcular sua transformada de Laplace. Para isso vamos usar a definição de u(t-a) e a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace.

Passo 2

Lembrando que
u(t-a)=0,&t<a,1,&t>= a,
podemos captar que e^-t vale para todo t>=0 até t=5, e a partir de t=5 trocamos para -1. Então escrevemos
g(t)=e^-tl[u(t)-u(t-5)r]+l(-1r),u(t-5)

Passo 3

Para simplificar, note que u(t)=1 quando t>=0, de modo que
g(t)=e^-t-e^-t,u(t-5);-;u(t-5) ;=;e^-t-l[e^-t+1r],u(t-5)

Passo 4

Agora aplicamos Laplace termo a termo, usando
  • Le^-t=1s+1.
  • Para e^-tu(t-5) vemos que ao deslocar em 5 temos e^-tu(t-5)=e^-5,e^-(t-5)u(t-5), logo
    Le^-tu(t-5) =e^-5s,Le^-tau|tau=t-5 =e^-5s,1s+1
  • E para a parte constante ;u(t-5); vale
    Lu(t-5)=e^-5s,1s
Juntando tudo:
Lg(t) =1s+1 -;e^-5s,1s+1 -;e^-5s,1s

Resposta

A expressão em termos de degrau é
g(t)=e^-t-l[e^-t+1r],u(t-5),
e sua transformada de Laplace fica
Lg(t) =1s+1 -;e^-5sl(1s+1+1sr)

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