Questão 4. Considere as seguintes afirmações.
(I) A equação diferencial
é homogênea e a equação diferencial
é uma equação de Bernoulli.
(II) As funções
e
, são, respectivamente, soluções das equações lineares
e
.
(iii) A equação
é exata, logo possui uma função
, tal que
e
. Além disso, uma equação diferencial linear de
ordem é dita ter coeficientes constantes quando os coeficientes da variável y forem constantes.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) Existe apenas uma alternativa falsa
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I) e (II) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra d.
(I) A equação diferencial
(II) As funções
(iii) A equação
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) Existe apenas uma alternativa falsa
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I) e (II) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre equações diferenciais de primeira e segunda ordem e pede para verificar quais são verdadeiras ou falsas. Vamos usar:
- Critério de homogeneidade
. - Forma de Bernoulli
. - Teste de exatidão para
. - Definição de equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Verificando (I):
A)
é função de
, logo a equação é homogênea.
B)
está na forma
com
,
e
. Logo é Bernoulli.
Conclusão: (I) é verdadeira.
Conclusão: (I) é verdadeira.
Passo 3
Verificando (II):
Para
temos
que é linear com fator integrante
. A solução geral é
logo
está correta.
Para
o fator integrante é
e obtemos
O enunciado dá
sem o fator
multiplicando
, de modo que, salvo escolha especial de
, não satisfaz a equação para todo
.
Conclusão: (II) é falsa.
Conclusão: (II) é falsa.
Passo 4
Verificando (III):
A equação
tem
e
logo é exata e existe
com
,
.
Além disso, por definição, dizemos que uma equação diferencial linear de segunda ordem possui coeficientes constantes quando as funções que multiplicam
,
e
são constantes.
Conclusão: (III) é verdadeira.
Conclusão: (III) é verdadeira.
Passo 5
Apenas a afirmação (II) é falsa. Das três, duas são verdadeiras e uma é falsa, portanto a alternativa correta é:
Resposta
(d) Existe apenas uma alternativa falsa