Questão 4. Considere as seguintes afirmações.
(I) A equação diferencial y^prime=x^2+y^2x y é homogênea e a equação diferencial y^prime+1x y=x y^2 é uma equação de Bernoulli.
(II) As funções y1(x)=x^46+C1x^2 e y2(x)=sec (x) cdot sen^2(x)2+C2, com C1, C2 in R, são, respectivamente, soluções das equações lineares (2 y-x^4) d x+x d y=0 e d yd x-y tg(x)=sen(x).
(iii) A equação (2 x-y+1) d x-(x+3 y-2) d y=0 é exata, logo possui uma função psi, tal que psix=2 x-y+1 e psiy=-x-3 y+2. Além disso, uma equação diferencial linear de 2 a ordem é dita ter coeficientes constantes quando os coeficientes da variável y forem constantes.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) Existe apenas uma alternativa falsa
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I) e (II) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra d.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre equações diferenciais de primeira e segunda ordem e pede para verificar quais são verdadeiras ou falsas. Vamos usar:
  1. Critério de homogeneidade .
  2. Forma de Bernoulli .
  3. Teste de exatidão para .
  4. Definição de equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Verificando (I):
A)
y'=x^2+y^2x,y =x^2x,y+y^2x,y =xy+yx
é função de tfrac yx, logo a equação é homogênea.
B)
y'+1xy=x,y^2
está na forma y'+P(x)y=Q(x)y^n com P(x)=tfrac1x, Q(x)=x e n=2. Logo é Bernoulli.
Conclusão: (I) é verdadeira.

Passo 3

Verificando (II):
Para
(2y-x^4),dx + x,dy=0
temos
x,dydx+2y=x^4,
que é linear com fator integrante x^2. A solução geral é
y=x^46+C1x^2,
logo y1 está correta.
Para
dydx-ytan x=sin x
o fator integrante é mu=cos x e obtemos
ycos x=tfrac12sin^2x +C, y=sec xl(tfrac12sin^2x +Cr) =tfrac12sec xsin^2x +Csec x
O enunciado dá
y2=tfrac12sec xsin^2x +C2
sem o fator sec x multiplicando C2, de modo que, salvo escolha especial de C2, não satisfaz a equação para todo x.
Conclusão: (II) é falsa.

Passo 4

Verificando (III):
A equação
tem
e
logo é exata e existe com , .
Além disso, por definição, dizemos que uma equação diferencial linear de segunda ordem possui coeficientes constantes quando as funções que multiplicam , e são constantes.
Conclusão: (III) é verdadeira.

Passo 5

Apenas a afirmação (II) é falsa. Das três, duas são verdadeiras e uma é falsa, portanto a alternativa correta é:

Resposta

(d) Existe apenas uma alternativa falsa

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