Questão 5. Considere as seguintes afirmações.
  • (I) Dada uma equação diferencial linear de 2a ordem (em y), então podemos afirmar que ela pode conter funções não lineares da variável independente x.
    (II) Sejam y=C1 y1+C2 y2, C1, C2 in R, a solução geral da equação y^prime prime=0 e yp uma solução particular desta equação, para C1=3 e C2=-4. Então, podemos afirmar que yp(1)=-1.
    (III) O conjunto cos (x), sen(x) é um conjunto fundamental de soluções da equação y^prime prime+y=0. Deste modo, a solução geral desta equação é y=c1 cos (x) cdot c2 sen(x), c1, c2 in R.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) apenas (III) é falsa
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores

Resposta. A alternativa correta é a letra e.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos três afirmações sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem em y:
(I) permite funções não lineares em x nos coeficientes,
(II) para y''=0 a solução geral é y=C1x+C2 e escolhendo C1=3, C2=-4 define-se um yp, e
(III) a solução geral de y''+y=0 com conjunto fundamental cos(x),sen(x) seria dada por um produto.
O conteúdo de matéria aqui é: definição de equação diferencial linear, princípio da superposição, solução geral de homogênea, e estrutura da combinação linear das soluções fundamentais.

Passo 2

Analisando (I): uma equação diferencial é dita linear em y se aparece y, y' e y'' apenas em grau 1, mas os coeficientes podem ser quaisquer funções de x, inclusive não lineares, como e^x, sin(x^2), etc. Logo, (I) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (II): para a equação homogênea
y''=0
temos duas soluções linearmente independentes y1(x)=x e y2(x)=1, de modo que a solução geral é
y(x)=C1x+C2,
Se fixamos C1=3 e C2=-4, obtemos a solução particular
yp(x)=3x-4
e portanto
yp(1)=3cdot1-4=-1
Logo, (II) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (III): de fato cos(x),sen(x) é um conjunto fundamental de soluções de
y''+y=0,
mas a solução geral é sempre uma combinação linear com soma, ou seja
y(x)=c1cos(x)+c2sen(x),
e não um produto. Assim, (III) é falsa.

Passo 5

Concluímos que (I) e (II) são verdadeiras e (III) é falsa. Portanto, a alternativa que afirma “apenas (III) é falsa” é a correta.

Resposta

(e) apenas (III) é falsa

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