Questão 5. Considere as seguintes afirmações.
- (I) Dada uma equação diferencial linear de 2a ordem (em y), então podemos afirmar que ela pode conter funções não lineares da variável independente
.
(II) Sejam
, a solução geral da equação
e
uma solução particular desta equação, para
e
. Então, podemos afirmar que
.
(III) O conjunto
é um conjunto fundamental de soluções da equação
. Deste modo, a solução geral desta equação é
.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) apenas (III) é falsa
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra e.
(II) Sejam
(III) O conjunto
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) apenas (III) é falsa
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos três afirmações sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem em
:
(I) permite funções não lineares em nos coeficientes,
(II) para a solução geral é
e escolhendo
,
define-se um
, e
(III) a solução geral de com conjunto fundamental
seria dada por um produto.
O conteúdo de matéria aqui é: definição de equação diferencial linear, princípio da superposição, solução geral de homogênea, e estrutura da combinação linear das soluções fundamentais.
(I) permite funções não lineares em
(II) para
(III) a solução geral de
O conteúdo de matéria aqui é: definição de equação diferencial linear, princípio da superposição, solução geral de homogênea, e estrutura da combinação linear das soluções fundamentais.
Passo 2
Analisando (I): uma equação diferencial é dita linear em
se aparece
,
e
apenas em grau 1, mas os coeficientes podem ser quaisquer funções de
, inclusive não lineares, como
,
, etc. Logo, (I) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (II): para a equação homogênea
temos duas soluções linearmente independentes
e
, de modo que a solução geral é
Se fixamos
e
, obtemos a solução particular
e portanto
Logo, (II) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (III): de fato
é um conjunto fundamental de soluções de
mas a solução geral é sempre uma combinação linear com soma, ou seja
e não um produto. Assim, (III) é falsa.
Passo 5
Concluímos que (I) e (II) são verdadeiras e (III) é falsa. Portanto, a alternativa que afirma “apenas (III) é falsa” é a correta.
Resposta
(e) apenas (III) é falsa