Questão 6. Considere as seguintes afirmações.
-
- (I) Dadas duas funções
e
. Podemos afirmar que
e
são LD em um intervalo I, se a razão entre elas é uma função de
, em I.
(II) Dadas duas funções
e
, soluções da mesma equação diferencial, cada uma delas deriváveis em um intervalo
. Então, estas funções são LI , nesse intervalo, se o Wronskiano
0.
(III) Dada uma equação
constantes, então, podemos afirmar que ela tem um único conjunto fundamental, no entanto, esta equação pode ter várias soluções gerais distintas.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) apenas (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra e.
- (I) Dadas duas funções
e . Podemos afirmar que e são LD em um intervalo I, se a razão entre elas é uma função de , em I.
(II) Dadas duas funçõese , soluções da mesma equação diferencial, cada uma delas deriváveis em um intervalo . Então, estas funções são LI , nesse intervalo, se o Wronskiano 0.
(III) Dada uma equaçãoconstantes, então, podemos afirmar que ela tem um único conjunto fundamental, no entanto, esta equação pode ter várias soluções gerais distintas.
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) apenas (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos três afirmações sobre funções
e
no contexto de dependência e independência lineares e sobre o conceito de conjunto fundamental de soluções da equação diferencial homogeneia
com
constantes. O que precisamos usar é a definição de dependência linear (DL) e independência linear (IL), o critério do wronskiano e o conceito de conjunto fundamental de soluções e solução geral de uma EDO linear de segunda ordem.
Passo 2
Analisando (I): a definição de DL diz que
e
são linearly dependent se existe uma constante
tal que
em todo o intervalo. A afirmação diz que basta a razão
ser “uma função de
”. Mas a razão entre duas funções é sempre alguma função de
, não necessariamente constante. Logo essa condição não caracteriza dependência linear. Portanto (I) é falsa.
Passo 3
Analisando (II): o critério exato é que se o wronskiano
for diferente de zero em todo o intervalo, então
e
são IL. A afirmação inverte isso, dizendo que são IL quando
, mas na verdade
implica DL (na maioria dos casos regulares). Portanto (II) é falsa.
Passo 4
Analisando (III): para
com coeficientes constantes, não existe apenas um único conjunto fundamental de soluções: qualquer par de soluções linearly independent forma um conjunto fundamental, e há infinitos desses pares. Além disso, embora a forma da solução geral seja única (isto é,
), não faz sentido falar em “várias soluções gerais distintas” além da variação dos parâmetros
. Logo (III) também é falsa.
Passo 5
Como (I), (II) e (III) são todas falsas, a alternativa correta é a letra (e).
Resposta
(e)