Questão 6. Considere as seguintes afirmações.
    • (I) Dadas duas funções y1 e y2. Podemos afirmar que y1 e y2 são LD em um intervalo I, se a razão entre elas é uma função de x, em I.
      (II) Dadas duas funções y1 e y2, soluções da mesma equação diferencial, cada uma delas deriváveis em um intervalo x1<x<x2. Então, estas funções são LI , nesse intervalo, se o Wronskiano W(y1, y2)= 0.
      (III) Dada uma equação y^prime prime+a y^prime+b y=0, a, b constantes, então, podemos afirmar que ela tem um único conjunto fundamental, no entanto, esta equação pode ter várias soluções gerais distintas.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) apenas (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra e.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três afirmações sobre funções y1 e y2 no contexto de dependência e independência lineares e sobre o conceito de conjunto fundamental de soluções da equação diferencial homogeneia
y'' + a,y' + b,y = 0,
com a,b constantes. O que precisamos usar é a definição de dependência linear (DL) e independência linear (IL), o critério do wronskiano e o conceito de conjunto fundamental de soluções e solução geral de uma EDO linear de segunda ordem.

Passo 2

Analisando (I): a definição de DL diz que y1 e y2 são linearly dependent se existe uma constante c tal que y1 = c,y2 em todo o intervalo. A afirmação diz que basta a razão y1y2 ser “uma função de x”. Mas a razão entre duas funções é sempre alguma função de x, não necessariamente constante. Logo essa condição não caracteriza dependência linear. Portanto (I) é falsa.

Passo 3

Analisando (II): o critério exato é que se o wronskiano
W(y1,y2)=y1,y2' - y1',y2
for diferente de zero em todo o intervalo, então y1 e y2 são IL. A afirmação inverte isso, dizendo que são IL quando W=0, mas na verdade W=0 implica DL (na maioria dos casos regulares). Portanto (II) é falsa.

Passo 4

Analisando (III): para
y'' + a,y' + b,y = 0
com coeficientes constantes, não existe apenas um único conjunto fundamental de soluções: qualquer par de soluções linearly independent forma um conjunto fundamental, e há infinitos desses pares. Além disso, embora a forma da solução geral seja única (isto é, y=C1y1+C2y2), não faz sentido falar em “várias soluções gerais distintas” além da variação dos parâmetros C1,C2. Logo (III) também é falsa.

Passo 5

Como (I), (II) e (III) são todas falsas, a alternativa correta é a letra (e).

Resposta

(e)

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