Questão 3. Considere as seguintes afirmações:
(I) A equação diferencial y x^3 d x-(x^4+y^4) d y=0 não é exata, no entanto, ela possui um fator integrante que depende apenas de y, de modo que, usando este fator integrante, a equação é redutível a uma EDO exata, cuja solução é C=14 x^4 y^4-ln (y).
(II) Uma EDO pode ser simultaneamente linear e separável.
(iII) Existe EDO simultaneamente de Bernoulli e separável.
(IV) É possível mostrar que a equação diferencial linear de 2a ordem, em Q=Q(t), dada por L Q^prime prime+ R Q^prime+1C Q=E é um modelo matemático que representa um circuito elétrico RLC (sendo as letras R a resistência, L a indutância e a C a capacitância), e, sendo E=E(t) a voltagem aplicada neste sistema.

Nestas condições, é correto afirmar que:

(a) apenas (I) é verdadeira
(d) apenas (I) é falsa
(b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras
(e) (III) e (IV) são falsas
(c) todas as afirmações são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra d

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre EDOs: (I) trata de exatidão e fator integrante em y; (II) questiona se uma EDO pode ser simultaneamente linear e separável; (III) indaga a existência de EDO simultaneamente de Bernoulli e separável; (IV) afirma que
L,Q'' + R,Q' + tfrac1C,Q = E(t)
é o modelo matemático de um circuito RLC. Para decidir quais são verdadeiras, vamos aplicar conceitos de exatidão, fator integrante, linearidade, separabilidade, equação de Bernoulli e modelagem de circuitos.

Passo 2

Verificamos (I): a EDO
y,x^3,dx - l(x^4+y^4r),dy = 0
não é exata, pois
partialpartial yl(yx^3r)=x^3, partialpartial xl[-(x^4+y^4)r]=-4x^3,
e x^3neq -4x^3. Procurando fator integrante mu(y), usa-se
partial N/partial x - partial M/partial yM =-4x^3 - x^3y,x^3=-5y,
logo mu(y)=y^-5 torna a equação exata. Integrando encontra-se como solução essencial
14,x^4y^-4-y=constante,
que difere da forma C=tfrac14x^4y^4-ln(y) dada no enunciado. Portanto (I) é falsa.

Passo 3

Para (II): uma EDO linear de primeira ordem tem forma
y'+P(x),y=Q(x)
Se Q(x)=0 ou P(x)=0 ela também fica separável. Por exemplo
y'+y=0
é linear e, escrevendo y'=-y, é claramente separável. Logo (II) é verdadeira.

Passo 4

Para (III): a equação de Bernoulli
y'+p(x),y=q(x),y^n
quando p(x)=0 reduz-se a
y'=q(x),y^n,
que é separável. Assim existem EDOs que são ao mesmo tempo de Bernoulli e separáveis. Logo (III) é verdadeira.

Passo 5

Para (IV): basta reconhecer que a equação
L,Q'' + R,Q' + tfrac1C,Q = E(t)
é justamente o modelo diferencial de um circuito série RLC sujeito a uma tensão E(t). Então (IV) é verdadeira.

Resposta

(d) apenas (I) é falsa

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