Questão 3. Considere as seguintes afirmações:
(I) A equação diferencial
não é exata, no entanto, ela possui um fator integrante que depende apenas de
, de modo que, usando este fator integrante, a equação é redutível a uma EDO exata, cuja solução é
.
(II) Uma EDO pode ser simultaneamente linear e separável.
(iII) Existe EDO simultaneamente de Bernoulli e separável.
(IV) É possível mostrar que a equação diferencial linear de 2a ordem, em
, dada por
é um modelo matemático que representa um circuito elétrico RLC (sendo as letras
a resistência,
a indutância e a
a capacitância), e, sendo
a voltagem aplicada neste sistema.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) apenas (I) é falsa
(b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras
(e) (III) e (IV) são falsas
(c) todas as afirmações são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra d
(I) A equação diferencial
(II) Uma EDO pode ser simultaneamente linear e separável.
(iII) Existe EDO simultaneamente de Bernoulli e separável.
(IV) É possível mostrar que a equação diferencial linear de 2a ordem, em
(d) apenas (I) é falsa
(b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras
(e) (III) e (IV) são falsas
(c) todas as afirmações são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre EDOs: (I) trata de exatidão e fator integrante em
; (II) questiona se uma EDO pode ser simultaneamente linear e separável; (III) indaga a existência de EDO simultaneamente de Bernoulli e separável; (IV) afirma que
é o modelo matemático de um circuito RLC. Para decidir quais são verdadeiras, vamos aplicar conceitos de exatidão, fator integrante, linearidade, separabilidade, equação de Bernoulli e modelagem de circuitos.
Passo 2
Verificamos (I): a EDO
não é exata, pois
e
. Procurando fator integrante
, usa-se
logo
torna a equação exata. Integrando encontra-se como solução essencial
que difere da forma
dada no enunciado. Portanto (I) é falsa.
Passo 3
Para (II): uma EDO linear de primeira ordem tem forma
Se
ou
ela também fica separável. Por exemplo
é linear e, escrevendo
, é claramente separável. Logo (II) é verdadeira.
Passo 4
Para (III): a equação de Bernoulli
quando
reduz-se a
que é separável. Assim existem EDOs que são ao mesmo tempo de Bernoulli e separáveis. Logo (III) é verdadeira.
Passo 5
Para (IV): basta reconhecer que a equação
é justamente o modelo diferencial de um circuito série RLC sujeito a uma tensão
. Então (IV) é verdadeira.
Resposta
(d) apenas (I) é falsa