Verifique se os conjuntos de funções a seguir são linearmente independentes no espaço das funções reais. Justifique sua resposta.
x, x^2, x^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções x,;x^2,;x^3 é linearmente independente no espaço vetorial das funções reais. Para isso, usaremos a definição de independência linear: uma combinação linear dessas funções só pode ser a função zero se e somente se todos os coeficientes forem zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,cinR tais que, para todo xinR,
a,x ;+; b,x^2 ;+; c,x^3 ;=; 0
Isso significa que o polinômio
p(x)=a,x + b,x^2 + c,x^3
é identicamente igual a zero.

Passo 3

Um polinômio é identicamente nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes são zero. Comparando termo a termo:
coeficiente de x^3: c=0,
coeficiente de x^2: b=0,
coeficiente de x: a=0.

Resposta

Como a única solução é a=b=c=0, o conjunto x,x^2,x^3 é linearmente independente.

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