Verifique se os conjuntos de funções a seguir são linearmente independentes no espaço das funções reais. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente independente no espaço vetorial das funções reais. Para isso, usaremos a definição de independência linear: uma combinação linear dessas funções só pode ser a função zero se e somente se todos os coeficientes forem zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Isso significa que o polinômio
é identicamente igual a zero.
Passo 3
Um polinômio é identicamente nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes são zero. Comparando termo a termo:
coeficiente de :
,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
.
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
Resposta
Como a única solução é
, o conjunto
é linearmente independente.