Estenda
periodicamente para fora do intervalo e encontre a série de Fourier da função estendida. Qual é o limite
da série?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estender a função
de forma periódica fora do intervalo
e encontrar a série de Fourier dessa função estendida. Depois, precisamos descobrir qual é o limite
dessa série. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de série de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta no intervalo dado:
Como vamos estender
periodicamente, isso significa que essa forma se repete a cada intervalo de comprimento 2. Ou seja,
para todo
.
Passo 3
Agora, para encontrar a série de Fourier, precisamos calcular os coeficientes
,
e
. A série de Fourier para uma função periódica de período
é dada por:
Aqui,
é a frequência fundamental.
Passo 4
Vamos calcular primeiro o coeficiente
, que representa a média da função no período:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular os coeficientes
:
Esse integral pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais, resultando em:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Resolvendo esse integral, temos:
Para simplificar, percebemos que, na verdade, devido à simetria da função
ser par, todos os coeficientes
serão zero.
Passo 7
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier de
é:
Resposta
O limite
da série de Fourier é a própria função
estendida periodicamente, ou seja: