Estenda f(x) periodicamente para fora do intervalo e encontre a série de Fourier da função estendida. Qual é o limite g(x) da série?
f(x) = { 0, -1 <= x < 0; x^2, 0 <= x < 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estender a função de forma periódica fora do intervalo e encontrar a série de Fourier dessa função estendida. Depois, precisamos descobrir qual é o limite dessa série. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de série de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta no intervalo dado:
Como vamos estender periodicamente, isso significa que essa forma se repete a cada intervalo de comprimento 2. Ou seja, para todo .

Passo 3

Agora, para encontrar a série de Fourier, precisamos calcular os coeficientes , e . A série de Fourier para uma função periódica de período é dada por:
Aqui, é a frequência fundamental.

Passo 4

Vamos calcular primeiro o coeficiente , que representa a média da função no período:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular os coeficientes :
Esse integral pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais, resultando em:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Resolvendo esse integral, temos:
Para simplificar, percebemos que, na verdade, devido à simetria da função ser par, todos os coeficientes serão zero.

Passo 7

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier de é:

Resposta

O limite da série de Fourier é a própria função estendida periodicamente, ou seja:
íú

Exercícios relacionados