Escreva a integral em termos de u e du. Depois calcule.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para escrever a integral
em termos de
e
, e depois calcular. A gente vai usar a técnica de substituição, que é super útil quando a integral tem uma parte que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher a substituição. O exercício já sugere que
. Isso é ótimo porque o que está dentro do cosseno é justamente essa expressão. Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando
:
Isso significa que
.
Passo 4
Vamos rearranjar para achar
:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 5
Substituindo na integral:
Podemos simplificar os termos
e
:
Então:
Passo 6
Agora, a integral ficou mais simples:
A integral de
é
, então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta para termos em
: