Escreva a integral em termos de u e du. Depois calcule.
integral(x^3+1) cos (x^4+4 x) d x u=x^4+4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para escrever a integral integral(x^3+1) cos (x^4+4 x) dx em termos de u e du, e depois calcular. A gente vai usar a técnica de substituição, que é super útil quando a integral tem uma parte que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a substituição. O exercício já sugere que u = x^4 + 4x. Isso é ótimo porque o que está dentro do cosseno é justamente essa expressão. Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Calculando du:
du = ddx(x^4 + 4x)dx = (4x^3 + 4)dx
Isso significa que du = (4x^3 + 4)dx.

Passo 4

Vamos rearranjar para achar dx:
dx = du4x^3 + 4
Agora, substituímos u e dx na integral original.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral(x^3+1) cos(u) cdot du4x^3 + 4
Podemos simplificar os termos x^3+1 e 4x^3+4:
x^3+1 = 14(4x^3+4)
Então:
integral 14 cos(u) du

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
14 integral cos(u) du
A integral de cos(u) é sin(u), então temos:
14 sin(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para termos em x:
14 sin(x^4 + 4x) + C

Resposta

14 sin(x^4 + 4x) + C

Exercícios relacionados