Escreva a integral em termos de u e du. Depois calcule.
integral sec ^2 x tg x d x, u=tg x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sec^2x,tan x,dx
utilizando a substituição u=tan x. O conteúdo aqui é técnica de substituição (u-substitution), onde identificamos uma parte da integral cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

Derivamos a definição de u para encontrar du. Como
u = tan x,
temos
dudx = sec^2x
e, portanto,
du = sec^2x,dx

Passo 3

Agora substituímos na integral original. Observamos que sec^2x,dx = du e tan x = u. Logo,
integral sec^2x,tan x,dx = integral u,du

Passo 4

Calculamos a integral em u:
integral u,du = u^22 + C
Por fim, voltamos à variável x usando u=tan x, obtendo
u^22 + C = tan^2x2 + C

Resposta

tan^2x2 + C

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