Escreva a integral em termos de u e du. Depois calcule.
integral(sec ^2 t) e^tg t d t u=tg t

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para calcular
integral sec^2 t,e^tan t,dt
usando a substituição u=tan t. O conteúdo é integração por substituição, ou seja, identificamos uma parte da integral cuja derivada também está presente.

Passo 2

Definimos
u = tan t
Derivando em relação a t, temos
dudt = sec^2 t Longrightarrow du = sec^2 t,dt

Passo 3

Na integral original, note que sec^2 t,dt = du e que e^tan t = e^u. Assim,
integral sec^2 t,e^tan t,dt = integral e^u,du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
integral e^u,du = e^u + C

Passo 5

Voltando à variável t com u=tan t, concluímos que
e^u + C = e^tan t + C

Resposta

e^tan t + C

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