Use o método de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral(t+1)^12(t+3) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral (t+1)^12(t+3),dt
usando integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e o fato de que
integral (t+1)^n,dt = (t+1)^n+1n+1,

Passo 2

Escolhemos
u = t+3, dv = (t+1)^12,dt
para que du seja simples e integraldv seja fácil de calcular.

Passo 3

Derivando e integrando, obtemos
du = dt, v = integral (t+1)^12,dt = (t+1)^1313,

Passo 4

Substituindo na fórmula de partes,
integral (t+1)^12(t+3),dt = u,v - integral v,du = (t+3),(t+1)^1313 - integral (t+1)^1313,dt,

Passo 5

A integral restante é
integral (t+1)^13,dt = (t+1)^1414
e portanto
integral (t+1)^1313,dt = 113cdot(t+1)^1414 = (t+1)^14182,

Passo 6

Combinando os termos,
integral (t+1)^12(t+3),dt = (t+3)(t+1)^1313 - (t+1)^14182 + C
Uma forma equivalente, fatorando (t+1)^13, é
(t+1)^13182,l(14(t+3)-(t+1)r) = (t+1)^13(13t+41)182 + C

Resposta

(t+3)(t+1)^1313 - (t+1)^14182 + C
ou equivalentemente
(t+1)^13(13t+41)182 + C

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