Questão 1 (2,5 pontos) Resolva a equação diferencial ordinária
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
O método consiste em achar a solução geral da homogênea e somar uma solução particular para o lado direito.
Passo 2
Começamos pela equação característica da parte homogênea
Note que isso é um quadrado perfeito:
de modo que as raízes são
, com multiplicidade dupla, ou seja
cada um com multiplicidade 2.
Passo 3
Como
são raízes duplas, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para o termo constante
do lado direito, tentamos uma solução particular da forma
. Substituindo em
temos
, logo
e
Passo 5
Para o termo
, tentamos
Calculando derivadas:
Logo
Para ser igual a
precisamos de
Portanto
Passo 6
A solução particular total é
Somando à homogênea, a solução geral é