Questão 1 (2,5 pontos) Resolva a equação diferencial ordinária
y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=3+\cos (2 t) .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
y^{(4)} + 2\,y'' + y = 3 + \cos(2t).
O método consiste em achar a solução geral da homogênea e somar uma solução particular para o lado direito.

Passo 2

Começamos pela equação característica da parte homogênea
r^4 + 2r^2 + 1 = 0.
Note que isso é um quadrado perfeito:
r^4 + 2r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2 = 0,
de modo que as raízes são r^2 = -1, com multiplicidade dupla, ou seja
r = i,\;r = -\,i
cada um com multiplicidade 2.

Passo 3

Como r = \pm i são raízes duplas, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = (C_1 + C_2\,t)\cos t \;+\;(C_3 + C_4\,t)\sin t,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para o termo constante 3 do lado direito, tentamos uma solução particular da forma y_{p1}=A. Substituindo em
y^{(4)} + 2y'' + y = A,
temos 0+0+A = 3, logo
A = 3
e
y_{p1}(t) = 3.

Passo 5

Para o termo \cos(2t), tentamos
y_{p2}(t) = a\cos(2t) + b\sin(2t).
Calculando derivadas:
y''_{p2} = -4a\cos(2t)-4b\sin(2t), \quad y^{(4)}_{p2} = 16a\cos(2t)+16b\sin(2t).
Logo
y^{(4)}_{p2} + 2y''_{p2} + y_{p2} = (16a - 8a + a)\cos(2t) + (16b - 8b + b)\sin(2t) = 9a\cos(2t) + 9b\sin(2t).
Para ser igual a \cos(2t) precisamos de
9a = 1,\quad 9b = 0 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac{1}{9},\;b = 0.
Portanto
y_{p2}(t) = \tfrac{1}{9}\cos(2t).

Passo 6

A solução particular total é
y_p(t) = y_{p1}(t) + y_{p2}(t) = 3 + \tfrac{1}{9}\cos(2t).
Somando à homogênea, a solução geral é
y(t) = (C_1 + C_2\,t)\cos t + (C_3 + C_4\,t)\sin t + 3 + \tfrac{1}{9}\cos(2t).

Resposta

y(t) = (C_1 + C_2\,t)\cos t + (C_3 + C_4\,t)\sin t + 3 + \tfrac{1}{9}\cos(2t).

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