Nos problemas 17 e 18, calcule as integrais transformando-as em coordenadas cilíndricas.
integral-raiz3^raiz3 integral-raiz3-x^2^raiz3-x^2 integral1^4-x^2-y^2 1z^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla que precisa ser calculada usando coordenadas cilíndricas. A equação que a gente vai trabalhar é:
integral-raiz3^raiz3 integral-raiz3-x^2^raiz3-x^2 integral1^4-x^2-y^2 1z^2 , dz , dy , dx
Vamos precisar entender como converter essa integral para coordenadas cilíndricas e depois resolver passo a passo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume muda para:
dV = r , dr , dtheta , dz
Também, $ x^2 + y^2 = r^2 $. Isso vai simplificar nossos limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas cilíndricas. Observando os limites de $ x $ e $ y $:
  • $ x $ varia de $ -\sqrt{3} $ a $ \sqrt{3} $.
  • Para cada $ x $, $ y $ varia de $ -\sqrt{3 - x^{2}} $ a $ \sqrt{3 - x^{2}} $.
Isso significa que $ x^2 + y^2 \leq 3 $, ou seja, $ r^2 \leq 3 $. Então, $ r $ varia de 0 a $ \sqrt{3} $.
Para $ \theta $, como a região é todo o círculo completo, ele varia de 0 a $ 2\pi $.
Finalmente, para $ z $:
  • $ z $ varia de 1 a $ 4 - x^{2} - y^{2} $.
  • Em coordenadas cilíndricas, isso fica $ z $ de 1 a $ 4 - r^{2} $.

Passo 4

Agora que temos os limites em coordenadas cilíndricas, vamos reescrever a integral:
integral0^2pi integral0^raiz3 integral1^4 - r^2 1z^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, a função integranda $ \frac{1}{z^{2}} $ permanece a mesma, mas não esquecemos de multiplicar pelo $ r $ do elemento de volume.

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a $ z $. A integral interna é:
z
A antiderivada de $ \frac{1}{z^{2}} $ é $ -\frac{1}{z} $. Então:
integral1^4 - r^2 1z^2 , dz

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a $ r $:
r
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^raiz3 (1 - 14 - r^2) r , dr

Passo 7

Primeiro, calculamos a primeira integral:
integral0^raiz3 r , dr = 12 r^2 |0^raiz3 = 12 cdot 3 = 32

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^raiz3 r4 - r^2 , dr
Fazemos uma substituição:
u = 4 - r^2 Rightarrow du = -2r , dr Rightarrow r , dr = -12 du
Substituindo na integral:
- 12 integral 1u , du = -12 ln |u| + C = -12 ln |4 - r^2| + C
Aplicando os limites:
- 12 [ ln(4 - 3) - ln(4 - 0) ] = -12 [ln(1) - ln(4)] = -12 [0 - ln 4] = 12 ln 4

Passo 9

Agora, juntando as duas partes:
32 - 12 ln 4 = 32 - 12 cdot (2 ln 2) = 32 - ln 2

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $:
theta

Resposta

A integral vale $ 3\pi - 2\pi \ln 2 $.

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