Nos problemas 17 e 18, calcule as integrais transformando-as em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla que precisa ser calculada usando coordenadas cilíndricas. A equação que a gente vai trabalhar é:
Vamos precisar entender como converter essa integral para coordenadas cilíndricas e depois resolver passo a passo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos:
E o elemento de volume muda para:
Também, $ x^2 + y^2 = r^2 $. Isso vai simplificar nossos limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas cilíndricas. Observando os limites de $ x $ e $ y $:
- $ x $ varia de $ -\sqrt{3} $ a $ \sqrt{3} $.
- Para cada $ x $, $ y $ varia de $ -\sqrt{3 - x^{2}} $ a $ \sqrt{3 - x^{2}} $.
Isso significa que $ x^2 + y^2 \leq 3 $, ou seja, $ r^2 \leq 3 $. Então, $ r $ varia de 0 a $ \sqrt{3} $.
Para $ \theta $, como a região é todo o círculo completo, ele varia de 0 a $ 2\pi $.
Finalmente, para $ z $:
- $ z $ varia de 1 a $ 4 - x^{2} - y^{2} $.
- Em coordenadas cilíndricas, isso fica $ z $ de 1 a $ 4 - r^{2} $.
Passo 4
Agora que temos os limites em coordenadas cilíndricas, vamos reescrever a integral:
Aqui, a função integranda $ \frac{1}{z^{2}} $ permanece a mesma, mas não esquecemos de multiplicar pelo $ r $ do elemento de volume.
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a $ z $. A integral interna é:
A antiderivada de $ \frac{1}{z^{2}} $ é $ -\frac{1}{z} $. Então:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a $ r $:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Primeiro, calculamos a primeira integral:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Aplicando os limites:
Passo 9
Agora, juntando as duas partes:
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $:
Resposta
A integral vale $ 3\pi - 2\pi \ln 2 $.