(a) Escreva
e
na forma
(b) Construa
.
(c) Simplifique
para a forma padrão
.
(d) Use
para estimar
e
.
(e) Discuta qualitativamente como o não equiespaçamento dos nós pode afetar o erro de interpolação.
Considere os três pontos não equiespaçados:
(c) Simplifique
(d) Use
(e) Discuta qualitativamente como o não equiespaçamento dos nós pode afetar o erro de interpolação.
Passo 1
O enunciado dá três pontos não equiespaçados
Ele pede:
(a) escrever na forma
(a) escrever
(b) construir
,
(c) simplificar para a forma padrão
,
(d) usar para estimar
e
,
(e) discutir qualitativamente como o não equiespaçamento dos nós pode afetar o erro de interpolação.
(c) simplificar
(d) usar
(e) discutir qualitativamente como o não equiespaçamento dos nós pode afetar o erro de interpolação.
Passo 2
Breve explicação (didática) da fórmula de Lagrange usada: a base de Lagrange
é construída para que
(ou seja, vale
em
e
nos outros nós). A fórmula é
Aqui cada fator
é uma reta que vale
em
e
em
; o produto garante as propriedades desejadas. Vamos aplicar essa fórmula com os valores dados:
,
,
(escrevo
para facilitar frações).
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Usando a fórmula,
Calculemos o denominador:
Logo
Expandindo para obter forma polinomial: primeiro o produto
Multiplicando por
,
Passo 4
Calcular
.
Pela fórmula,
Denominador:
Então
Expandindo
e multiplicando por
,
Passo 5
Calcular
.
Pela fórmula,
Denominador:
Logo
Expandindo,
Passo 6
Construir
substituindo
,
,
.
Primeiro escrevo cada contribuição:
Agora multiplicamos os escalares em cada termo:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Somar os termos para obter os coeficientes
em
.
Coeficiente de
:
Para somar, uso denominador comum
:
Somando:
Coeficiente de
:
Denominador comum
:
Somando:
Termo constante:
Portanto o polinômio simplificado é
(Se preferir em decimais:
,
,
.)
Passo 8
Estimar
usando
. Uso
.
Calculemos termo a termo (uso frações exatas):
Então
Somando exatamente (com denominador
) obtém-se
Logo a estimativa é
.
Passo 9
Estimar
usando
. Uso
.
Calculemos:
Somando com denominador
:
Portanto
.
Passo 10
Discussão qualitativa sobre o efeito do não equiespaçamento dos nós no erro de interpolação (didática e intuitiva):
- Existe uma fórmula de erro para interpolação de grau
(aqui ) que diz, de modo conceitual,
para algum
entre os nós. Aqui, para
,
- Consequência prática: o tamanho do erro em um ponto
depende do valor da derivada de ordem superior (que é informação da função verdadeira) e do produto . O espaçamento dos nós entra neste produto e, portanto, influencia a magnitude do erro. - Intuição: se os nós estão muito espaçados numa região, o produto
pode crescer e o erro aumentar; se os nós estão concentrados perto do ponto onde queremos avaliar, o produto fica menor e o erro local diminui. Assim, não equiespaçamento pode reduzir o erro localmente (quando os nós são colocados onde queremos maior precisão) ou, ao contrário, agravar o erro noutras regiões. - Além disso, para graus maiores, nós igualmente espaçados podem levar ao fenômeno de Runge (oscilações grandes nas extremidades); escolher nós não equiespaçados, por exemplo nós de Chebyshev, reduz o erro máximo e melhora a estabilidade numérica.
- Em resumo: para grau baixo (aqui 2) o efeito costuma ser pequeno e controlável, mas em geral o posicionamento dos nós altera tanto o tamanho do produto
quanto a condição numérica do problema, e nós não equiespaçados podem ser benéficos quando escolhidos com critério (por exemplo para reduzir erro máximo ou focar precisão em uma região).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) O não equiespaçamento dos nós altera o produto do termo de erro e, portanto, pode reduzir o erro localmente (se nós estiverem concentrados onde se quer precisão) ou aumentá‑lo noutras regiões; escolhas inteligentes de nós (ex.: nós de Chebyshev) reduzem o erro máximo e melhoram a estabilidade em comparação com nós equiespaçados.
(b)
(c)
(d)
(e) O não equiespaçamento dos nós altera o produto