(a) Escreva L_{0}(x), L_{1}(x) e L_{2}(x) na forma
L_{k}(x)=\prod_{\substack{j=0 \\\ j \neq k}}^{2} \frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}}
(b) Construa p_{2}(x)=y_{0} L_{0}(x)+y_{1} L_{1}(x)+y_{2} L_{2}(x).
(c) Simplifique p_{2}(x) para a forma padrão a x^{2}+b x+c.
(d) Use p_{2} para estimar f(1.8) e f(0.5).
(e) Discuta qualitativamente como o não equiespaçamento dos nós pode afetar o erro de interpolação.
Considere os três pontos não equiespaçados:
\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,1.2), \quad\left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,2.1), \quad\left(x_{2}, y_{2}\right)=(2.5,2.0) .

Passo 1

O enunciado dá três pontos não equiespaçados
\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,1{,}2),\quad \left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,2{,}1),\quad \left(x_{2}, y_{2}\right)=(2{,}5,2{,}0).
Ele pede:
(a) escrever L_{0}(x),L_{1}(x),L_{2}(x) na forma
L_{k}(x)=\prod_{\substack{j=0 \\\ j \neq k}}^{2}\frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}},
(b) construir p_{2}(x)=y_{0}L_{0}(x)+y_{1}L_{1}(x)+y_{2}L_{2}(x),
(c) simplificar p_{2} para a forma padrão a x^{2}+b x+c,
(d) usar p_{2} para estimar f(1{,}8) e f(0{,}5),
(e) discutir qualitativamente como o não equiespaçamento dos nós pode afetar o erro de interpolação.

Passo 2

Breve explicação (didática) da fórmula de Lagrange usada: a base de Lagrange L_{k}(x) é construída para que L_{k}(x_{i})=\delta_{ik} (ou seja, vale 1 em x_{k} e 0 nos outros nós). A fórmula é
L_{k}(x)=\prod_{\substack{j=0 \\\ j\neq k}}^{2}\frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}}.
Aqui cada fator \dfrac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} é uma reta que vale 0 em x=x_{j} e 1 em x=x_{k}; o produto garante as propriedades desejadas. Vamos aplicar essa fórmula com os valores dados: x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=\tfrac{5}{2} (escrevo 2{,}5=\tfrac{5}{2} para facilitar frações).

Passo 3

Calcular L_{0}(x) passo a passo.
Usando a fórmula,
L_{0}(x)=\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}\cdot\frac{x-x_{2}}{x_{0}-x_{2}}=\frac{(x-1)\,(x-\tfrac{5}{2})}{(0-1)\,(0-\tfrac{5}{2})}.
Calculemos o denominador:
(0-1)(0-\tfrac{5}{2})=(-1)\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{5}{2}.
Logo
L_{0}(x)=\frac{(x-1)\,(x-\tfrac{5}{2})}{\tfrac{5}{2}}=\frac{2}{5}(x-1)\left(x-\tfrac{5}{2}\right).
Expandindo para obter forma polinomial: primeiro o produto
(x-1)\left(x-\tfrac{5}{2}\right)=x^{2}-\tfrac{7}{2}x+\tfrac{5}{2}.
Multiplicando por \tfrac{2}{5},
L_{0}(x)=\tfrac{2}{5}x^{2}-\tfrac{7}{5}x+1.

Passo 4

Calcular L_{1}(x).
Pela fórmula,
L_{1}(x)=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\cdot\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x\,(x-\tfrac{5}{2})}{(1-0)\,(1-\tfrac{5}{2})}.
Denominador:
(1-0)\,(1-\tfrac{5}{2})=1\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-\tfrac{3}{2}.
Então
L_{1}(x)=\frac{x(x-\tfrac{5}{2})}{-\tfrac{3}{2}}=-\tfrac{2}{3}x\left(x-\tfrac{5}{2}\right).
Expandindo x(x-\tfrac{5}{2})=x^{2}-\tfrac{5}{2}x e multiplicando por -\tfrac{2}{3},
L_{1}(x)=-\tfrac{2}{3}x^{2}+\tfrac{5}{3}x.

Passo 5

Calcular L_{2}(x).
Pela fórmula,
L_{2}(x)=\frac{x-x_{0}}{x_{2}-x_{0}}\cdot\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{x(x-1)}{(\tfrac{5}{2}-0)\,(\tfrac{5}{2}-1)}.
Denominador:
\left(\tfrac{5}{2}\right)\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{15}{4}.
Logo
L_{2}(x)=\frac{x(x-1)}{\tfrac{15}{4}}=\tfrac{4}{15}x(x-1).
Expandindo,
L_{2}(x)=\tfrac{4}{15}x^{2}-\tfrac{4}{15}x.

Passo 6

Construir p_{2}(x)=y_{0}L_{0}(x)+y_{1}L_{1}(x)+y_{2}L_{2}(x) substituindo y_{0}=1{,}2=\tfrac{6}{5}, y_{1}=2{,}1=\tfrac{21}{10}, y_{2}=2.
Primeiro escrevo cada contribuição:
y_{0}L_{0}(x)=\tfrac{6}{5}\!\left(\tfrac{2}{5}x^{2}-\tfrac{7}{5}x+1\right),
y_{1}L_{1}(x)=\tfrac{21}{10}\!\left(-\tfrac{2}{3}x^{2}+\tfrac{5}{3}x\right),
y_{2}L_{2}(x)=2\!\left(\tfrac{4}{15}x^{2}-\tfrac{4}{15}x\right).
Agora multiplicamos os escalares em cada termo:
Para y_{0}L_{0}:
\tfrac{6}{5}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{12}{25},\qquad \tfrac{6}{5}\cdot\left(-\tfrac{7}{5}\right)=-\tfrac{42}{25},\qquad \tfrac{6}{5}\cdot 1=\tfrac{6}{5}.
Para y_{1}L_{1}:
\tfrac{21}{10}\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-\tfrac{7}{5},\qquad \tfrac{21}{10}\cdot\tfrac{5}{3}=\tfrac{7}{2}.
Para y_{2}L_{2}:
2\cdot\tfrac{4}{15}=\tfrac{8}{15},\qquad 2\cdot\left(-\tfrac{4}{15}\right)=-\tfrac{8}{15}.

Passo 7

Somar os termos para obter os coeficientes a,b,c em p_{2}(x)=ax^{2}+bx+c.
Coeficiente de x^{2}:
a=\tfrac{12}{25}+ \left(-\tfrac{7}{5}\right)+\tfrac{8}{15}.
Para somar, uso denominador comum 75:
\tfrac{12}{25}=\tfrac{36}{75},\quad -\tfrac{7}{5}=-\tfrac{105}{75},\quad \tfrac{8}{15}=\tfrac{40}{75}.
Somando:
a=\frac{36-105+40}{75}=-\frac{29}{75}.
Coeficiente de x:
b=-\tfrac{42}{25}+\tfrac{7}{2}-\tfrac{8}{15}.
Denominador comum 150:
-\tfrac{42}{25}=-\tfrac{252}{150},\quad \tfrac{7}{2}=\tfrac{525}{150},\quad -\tfrac{8}{15}=-\tfrac{80}{150}.
Somando:
b=\frac{-252+525-80}{150}=\frac{193}{150}.
Termo constante:
c=\tfrac{6}{5} \quad(\text{os outros termos não têm constante}).ãê
Portanto o polinômio simplificado é
p_{2}(x)=-\tfrac{29}{75}x^{2}+\tfrac{193}{150}x+\tfrac{6}{5}.
(Se preferir em decimais: a\approx-0{,}386666\ldots, b\approx1{,}286666\ldots, c=1{,}2.)

Passo 8

Estimar f(1{,}8) usando p_{2}. Uso 1{,}8=\tfrac{9}{5}.
Calculemos termo a termo (uso frações exatas):
x^{2}=(\tfrac{9}{5})^{2}=\tfrac{81}{25}.
Então
a x^{2}=-\tfrac{29}{75}\cdot\tfrac{81}{25}=-\tfrac{2349}{1875}=-\tfrac{783}{625}\approx -1{,}2528.
b x=\tfrac{193}{150}\cdot\tfrac{9}{5}=\tfrac{1737}{750}=\tfrac{579}{250}=2{,}316.
c=\tfrac{6}{5}=1{,}2.
Somando exatamente (com denominador 1250) obtém-se
p_{2}(1{,}8)=\frac{2829}{1250}=2{,}2632.
Logo a estimativa é f(1{,}8)\approx2{,}2632.

Passo 9

Estimar f(0{,}5) usando p_{2}. Uso 0{,}5=\tfrac{1}{2}.
x^{2}=(\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4}.
Calculemos:
a x^{2}=-\tfrac{29}{75}\cdot\tfrac{1}{4}=-\tfrac{29}{300},
b x=\tfrac{193}{150}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{193}{300},
c=\tfrac{6}{5}=\tfrac{360}{300}.
Somando com denominador 300:
p_{2}(0{,}5)=\frac{-29+193+360}{300}=\frac{524}{300}=\frac{131}{75}\approx1{,}746666\ldots
Portanto f(0{,}5)\approx1{,}7467.

Passo 10

Discussão qualitativa sobre o efeito do não equiespaçamento dos nós no erro de interpolação (didática e intuitiva):
  • Existe uma fórmula de erro para interpolação de grau n (aqui n=2) que diz, de modo conceitual,
\text{erro}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})
para algum \xi entre os nós. Aqui, para n=2,
\text{erro}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}).
  • Consequência prática: o tamanho do erro em um ponto x depende do valor da derivada de ordem superior f^{(3)} (que é informação da função verdadeira) e do produto (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}). O espaçamento dos nós entra neste produto e, portanto, influencia a magnitude do erro.
  • Intuição: se os nós estão muito espaçados numa região, o produto (x-x_{i}) pode crescer e o erro aumentar; se os nós estão concentrados perto do ponto onde queremos avaliar, o produto fica menor e o erro local diminui. Assim, não equiespaçamento pode reduzir o erro localmente (quando os nós são colocados onde queremos maior precisão) ou, ao contrário, agravar o erro noutras regiões.
  • Além disso, para graus maiores, nós igualmente espaçados podem levar ao fenômeno de Runge (oscilações grandes nas extremidades); escolher nós não equiespaçados, por exemplo nós de Chebyshev, reduz o erro máximo e melhora a estabilidade numérica.
  • Em resumo: para grau baixo (aqui 2) o efeito costuma ser pequeno e controlável, mas em geral o posicionamento dos nós altera tanto o tamanho do produto \prod(x-x_{i}) quanto a condição numérica do problema, e nós não equiespaçados podem ser benéficos quando escolhidos com critério (por exemplo para reduzir erro máximo ou focar precisão em uma região).

Resposta

(a) L_{0}(x)=\dfrac{(x-1)\,(x-\tfrac{5}{2})}{\tfrac{5}{2}}=\tfrac{2}{5}x^{2}-\tfrac{7}{5}x+1,\quad L_{1}(x)=\dfrac{x(x-\tfrac{5}{2})}{-\tfrac{3}{2}}=-\tfrac{2}{3}x^{2}+\tfrac{5}{3}x,\quad L_{2}(x)=\dfrac{x(x-1)}{\tfrac{15}{4}}=\tfrac{4}{15}x^{2}-\tfrac{4}{15}x.
(b) p_{2}(x)=\tfrac{6}{5}L_{0}(x)+\tfrac{21}{10}L_{1}(x)+2L_{2}(x).
(c) p_{2}(x)=-\tfrac{29}{75}x^{2}+\tfrac{193}{150}x+\tfrac{6}{5}.
(d) f(1{,}8)\approx p_{2}(1{,}8)=\dfrac{2829}{1250}=2{,}2632,\quad f(0{,}5)\approx p_{2}(0{,}5)=\dfrac{131}{75}\approx1{,}7467.
(e) O não equiespaçamento dos nós altera o produto \prod_{i}(x-x_{i}) do termo de erro e, portanto, pode reduzir o erro localmente (se nós estiverem concentrados onde se quer precisão) ou aumentá‑lo noutras regiões; escolhas inteligentes de nós (ex.: nós de Chebyshev) reduzem o erro máximo e melhoram a estabilidade em comparação com nós equiespaçados.

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