1. Determine o polinômio interpolante p_{2}(T)=a_{0}+a_{1} T+a_{2} T^{2}.
  2. Utilize o polinômio obtido para estimar o comprimento da barra a T=75^{\circ} \mathrm{C}.
  3. Calcule a variação percentual do comprimento em relação ao valor inicial ( 0^{\circ} \mathrm{C} ).
A tabela a seguir mostra valores experimentais do comprimento L de uma barra metálica em função da temperatura T :
T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 0 50 100
L(\mathrm{~mm}) 100.00 100.60 101.30

Passo 1

O problema pede três coisas claras:
  1. Encontrar o polinômio interpolante de grau 2 \;p_{2}(T)=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}\; que passa pelos três pontos experimentais.
  2. Usar esse polinômio para estimar o comprimento da barra na temperatura \;T=75^\circ\mathrm{C}\;.
  3. Calcular a variação percentual desse comprimento em relação ao valor em \;0^\circ\mathrm{C}\;.
As informações fornecidas (da tabela) são os três pontos:
(T_0,f_0)=(0,\,100{,}00),\qquad (T_1,f_1)=(50,\,100{,}60),\qquad (T_2,f_2)=(100,\,101{,}30).

Passo 2

Vou usar o polinômio de Newton (diferenças divididas) porque é prático para construir um polinômio interpolador de grau 2 a partir de três pontos. A forma geral (Newton) de grau 2 é:
p_{2}(T)=f_0 + f[T_0,T_1]\,(T-T_0) + f[T_0,T_1,T_2]\,(T-T_0)(T-T_1),
onde as diferenças divididas são definidas por
f[T_i,T_j]=\frac{f_j-f_i}{T_j-T_i}
e
f[T_i,T_j,T_k]=\frac{f[T_j,T_k]-f[T_i,T_j]}{T_k-T_i}.
Agora calculo essas diferenças divididas com os nossos dados (vou mostrar cada conta para ficar bem claro).
Primeira diferença dividida entre T_0 e T_1:
f[T_0,T_1]=\frac{f_1-f_0}{T_1-T_0}=\frac{100{,}60-100{,}00}{50-0}=\frac{0{,}60}{50}=0{,}012.
Primeira diferença dividida entre T_1 e T_2:
f[T_1,T_2]=\frac{f_2-f_1}{T_2-T_1}=\frac{101{,}30-100{,}60}{100-50}=\frac{0{,}70}{50}=0{,}014.
Agora a segunda diferença dividida (ordem 2):
f[T_0,T_1,T_2]=\frac{f[T_1,T_2]-f[T_0,T_1]}{T_2-T_0}=\frac{0{,}014-0{,}012}{100-0}=\frac{0{,}002}{100}=0{,}00002.

Passo 3

Substituo as diferenças divididas na forma de Newton:
p_{2}(T)=100{,}00 + 0{,}012\,(T-0) + 0{,}00002\,(T-0)(T-50).
Agora amplio para a forma padrão a_0+a_1T+a_2T^2. Primeiro expando o termo quadrático:
0{,}00002\,(T)(T-50)=0{,}00002\,(T^2-50T)=0{,}00002\,T^2-0{,}001\,T.
Somando com o termo linear 0{,}012T e o termo constante 100{,}00:
p_{2}(T)=100{,}00 + (0{,}012-0{,}001)\,T + 0{,}00002\,T^2.
Portanto os coeficientes são:
a_{0}=100{,}00,\qquad a_{1}=0{,}011,\qquad a_{2}=0{,}00002.
Vou checar rapidamente em T=50 e T=100 para garantir que bate com os dados:
p_{2}(50)=100{,}00+0{,}011\cdot50+0{,}00002\cdot2500=100{,}00+0{,}55+0{,}05=100{,}60,
p_{2}(100)=100{,}00+0{,}011\cdot100+0{,}00002\cdot10000=100{,}00+1{,}10+0{,}20=101{,}30.
Confere com a tabela — ótimo.

Passo 4

Agora estimo o comprimento em \;T=75^\circ\mathrm{C}\; usando o polinômio encontrado. Substituo T=75 em
p_{2}(T)=100{,}00+0{,}011T+0{,}00002T^{2}.
Calculo passo a passo:
0{,}011\cdot75=0{,}825,
0{,}00002\cdot75^{2}=0{,}00002\cdot5625=0{,}1125.
Somando:
p_{2}(75)=100{,}00+0{,}825+0{,}1125=100{,}9375\\ \text{mm}.
Arredondando razoavelmente, 100{,}94 mm.

Passo 5

Finalmente calculo a variação percentual relativa ao valor inicial em \;0^\circ\mathrm{C} (onde L(0)=100{,}00 mm). A fórmula da variação percentual é
\%\text{ variação}=\frac{L(75)-L(0)}{L(0)}\times100\%.çã
Substituindo os valores:
L(75)-L(0)=100{,}9375-100{,}00=0{,}9375\\ \text{mm},
\%\text{ variação}=\frac{0{,}9375}{100{,}00}\times100\%=0{,}9375\%.çã
Arredondando, aproximadamente 0{,}94\%.

Resposta

p_{2}(T)=100{,}00+0{,}011\,T+0{,}00002\,T^{2}\n
L(75^\circ\mathrm{C})\approx100{,}9375\\ \text{mm}\n
Variação percentual \approx0{,}9375\%

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