- Determine o polinômio interpolante
.
- Utilize o polinômio obtido para estimar o comprimento da barra a
.
- Calcule a variação percentual do comprimento em relação ao valor inicial (
).
A tabela a seguir mostra valores experimentais do comprimento
de uma barra metálica em função da temperatura
:
0
50
100
100.00
100.60
101.30
|
|
0 | 50 | 100 |
|
|
100.00 | 100.60 | 101.30 |
Passo 1
O problema pede três coisas claras:
- Encontrar o polinômio interpolante de grau 2
que passa pelos três pontos experimentais. - Usar esse polinômio para estimar o comprimento da barra na temperatura
. - Calcular a variação percentual desse comprimento em relação ao valor em
.
As informações fornecidas (da tabela) são os três pontos:
Passo 2
Vou usar o polinômio de Newton (diferenças divididas) porque é prático para construir um polinômio interpolador de grau 2 a partir de três pontos. A forma geral (Newton) de grau 2 é:
onde as diferenças divididas são definidas por
e
Agora calculo essas diferenças divididas com os nossos dados (vou mostrar cada conta para ficar bem claro).
Primeira diferença dividida entre
e
:
Primeira diferença dividida entre
e
:
Agora a segunda diferença dividida (ordem 2):
Passo 3
Substituo as diferenças divididas na forma de Newton:
Agora amplio para a forma padrão
. Primeiro expando o termo quadrático:
Somando com o termo linear
e o termo constante
:
Portanto os coeficientes são:
Vou checar rapidamente em
e
para garantir que bate com os dados:
Confere com a tabela — ótimo.
Passo 4
Agora estimo o comprimento em
usando o polinômio encontrado. Substituo
em
Calculo passo a passo:
Somando:
Arredondando razoavelmente,
mm.
Passo 5
Finalmente calculo a variação percentual relativa ao valor inicial em
(onde
mm). A fórmula da variação percentual é
Substituindo os valores:
Arredondando, aproximadamente
.
Resposta
Variação percentual