Uma partícula com massa m=2 \mathrm{~kg} desloca-se sobre uma calha parabólica vertical com equação y=x^{2}, onde x é medida na horizontal e y na vertical (ambas em metros). Como tal, o movimento da partícula tem apenas um grau de liberdade, que pode ser escolhido como a coordenada x.
a) Escreva a equação da energia cinética em função de x.
b) Escreva a equação da energia potencial gravitacional em função de x (considere g=9,8 m / s^{2} ).
c) Admitindo que sobre a partícula não atua nenhuma força conservativa, use a equação de Lagrange para encontrar a equação de movimento.
d) Encontre os pontos de equilíbrio do sistema no espaço de fase, e determine se são estáveis ou instáveis.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que foi dado, sem resolver nada ainda):
  • Dados numéricos e geométricos:
    • Massa da partícula: \;m=2\\ \mathrm{kg}.
    • A calha é descrita por \;y=x^{2}, com x horizontal e y vertical (metros).
    • A aceleração da gravidade: \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Observação importante do enunciado: a partícula está restrita à curva y=x^{2}, então o movimento tem um único grau de liberdade, que escolhemos como a coordenada generalizada x(t).
  • O enunciado faz quatro solicitações:
    (a) Escrever a energia cinética em função de x (e \dot{x}).
    (b) Escrever a energia potencial gravitacional em função de x.
    (c) Admitindo que não atuam forças não conservativas (ou seja, só forças conservativas como a gravidade), usar a equação de Lagrange para obter a equação de movimento.
    (d) Encontrar os pontos de equilíbrio no espaço de fase e determinar se são estáveis ou instáveis.

Passo 2

Entendendo a cinemática: como obter a velocidade da partícula em função de x e \dot{x}.
  • A posição na planta xy é \; \mathbf{r}(t) = (x(t),\,y(t)) = \big(x(t),\,x(t)^2\big).
  • As componentes da velocidade são derivadas temporais: \dot{x} = \frac{dx}{dt},\qquad \dot{y} = \frac{d}{dt}\big(x^{2}\big) = 2x\dot{x}.Explicando: usei a regra da cadeia/derivada de potência: \frac{d}{dt}(x^{2}) = 2x\frac{dx}{dt}. Aqui tratei x como função do tempo.
  • A velocidade escalar (módulo da velocidade) ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes: v^{2} = \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} = \dot{x}^{2} + (2x\dot{x})^{2} = \dot{x}^{2}\big(1 + 4x^{2}\big).Observação: fator comum \dot{x}^{2} poupa conta.

Passo 3

(a) Energia cinética em função de x e \dot{x}.
  • A definição padrão da energia cinética para uma partícula é T = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Substituindo v^{2} = \dot{x}^{2}(1+4x^{2}) e m=2: T = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \dot{x}^{2}\big(1+4x^{2}\big) = \dot{x}^{2}\big(1+4x^{2}\big).Importante: com m=2 o fator \tfrac{1}{2}m simplifica, por isso T ficou mais simples.
  • Resultado (forma limpa): \;T(x,\dot{x})=\big(1+4x^{2}\big)\dot{x}^{2}.

Passo 4

(b) Energia potencial gravitacional em função de x.
  • Para gravidade uniforme, escolhemos a referência de potencial tal que V = m g y.Aqui y=x^{2} (peguei essa relação da equação da calha).
  • Substituindo y e os valores numéricos: V(x)=m g x^{2}=2\cdot 9{,}8\cdot x^{2}=19{,}6\,x^{2}.
  • Resultado: \;V(x)=19{,}6\,x^{2} (em joules, porque m em kg, g em m/s² e x em m).

Passo 5

Preparação para usar Lagrange: definição do Lagrangiano e da equação de Euler–Lagrange.
  • O Lagrangiano é definido por L(x,\dot{x}) = T(x,\dot{x}) - V(x).Explicando: isso reúne energia cinética e potencial, e a equação de movimento é obtida exigindo que a ação seja estacionária (princípio de Hamilton) — na prática usaremos a forma diferencial Euler–Lagrange.
  • A equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada x é \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0.Vou calcular passo a passo \partial L/\partial \dot{x}, a derivada temporal dela, e \partial L/\partial x.

Passo 6

Cálculo de \partial L/\partial \dot{x} e sua derivada temporal.
  • Primeiro escrevo explicitamente L: L = T - V = \big(1+4x^{2}\big)\dot{x}^{2} - 19{,}6\,x^{2}.
  • Derivada parcial de L em relação a \dot{x}: \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 2\big(1+4x^{2}\big)\dot{x}.Explicando: tratei x como constante na derivada parcial e derivei \dot{x}^{2} obtendo 2\dot{x}.
  • Agora a derivada temporal dessa expressão (usar regra do produto, porque x depende do tempo também): \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 2\frac{d}{dt}\big[(1+4x^{2})\dot{x}\big].Aplicando a regra do produto \frac{d}{dt}(A\dot{x}) = \dot{A}\dot{x} + A\ddot{x}, com A=1+4x^{2} e \dot{A}=8x\dot{x}: \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 2\big[(8x\dot{x})\dot{x} + (1+4x^{2})\ddot{x}\big] = 2\big[8x\dot{x}^{2} + (1+4x^{2})\ddot{x}\big].
  • Para simplificar mais tarde, distribuo o 2: \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 16x\dot{x}^{2} + 2(1+4x^{2})\ddot{x}.

Passo 7

Cálculo de \partial L/\partial x.
  • Derivando L em relação a x (tratando \dot{x} como independente na derivada parcial): \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big[ (1+4x^{2})\dot{x}^{2} \big] - \frac{\partial}{\partial x}\big[19{,}6\,x^{2}\big].
  • Para o primeiro termo: \partial_{x}\big[(1+4x^{2})\dot{x}^{2}\big] = (8x)\dot{x}^{2} (pois \dot{x}^{2} é tratado como constante aqui).
  • Para o segundo termo: \partial_{x}(19{,}6\,x^{2}) = 39{,}2\,x.
  • Assim: \frac{\partial L}{\partial x} = 8x\dot{x}^{2} - 39{,}2\,x.

Passo 8

Aplicando a equação de Euler–Lagrange e simplificando para obter a equação de movimento.
  • A equação Euler–Lagrange é \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0.Substituindo os resultados dos passos anteriores: \big(16x\dot{x}^{2} + 2(1+4x^{2})\ddot{x}\big) - \big(8x\dot{x}^{2} - 39{,}2\,x\big) = 0.
  • Agrupando termos semelhantes: 16x\dot{x}^{2} - 8x\dot{x}^{2} + 2(1+4x^{2})\ddot{x} + 39{,}2\,x = 0.Então 8x\dot{x}^{2} + 2(1+4x^{2})\ddot{x} + 39{,}2\,x = 0.
  • Podemos simplificar dividindo por 2: 4x\dot{x}^{2} + (1+4x^{2})\ddot{x} + 19{,}6\,x = 0.
  • Organização final (forma comum): (1+4x^{2})\ddot{x} + 4x\dot{x}^{2} + 19{,}6\,x = 0.Alternativamente, isolando \ddot{x}: \ddot{x} + \frac{4x}{1+4x^{2}}\,\dot{x}^{2} + \frac{19{,}6\,x}{1+4x^{2}} = 0.
  • Esse é o EDO de segunda ordem que descreve o movimento da partícula sobre a calha parabólica (obtido pela equação de Lagrange).

Passo 9

(d) Encontrando pontos de equilíbrio no espaço de fase e classificando a estabilidade.
  • Definição prática de ponto de equilíbrio no espaço de fase (variáveis (x,\dot{x})): é um ponto onde \dot{x}=0 e \ddot{x}=0 simultaneamente, isto é, a configuração fica parada.
  • Substituindo \dot{x}=0 e \ddot{x}=0 na equação de movimento: (1+4x^{2})\cdot 0 + 4x\cdot 0 + 19{,}6\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 19{,}6\,x = 0.Logo x=0.
  • Portanto o único ponto de equilíbrio é (x,\dot{x})=(0,0).
  • Agora classificação da estabilidade: fazemos uma linearização da equação em torno de x=0,\\ \dot{x}=0.
    • Para pequenas oscilações (pequeno x e pequeno \dot{x}) as parcelas não lineares como \frac{4x}{1+4x^{2}}\dot{x}^{2} são de ordem superior (Produto envolvendo \dot{x}^{2} é não-linear) e podem ser desprezadas na linearização.
    • A equação linearizada fica: \ddot{x} + \frac{19{,}6\,x}{1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot{x} + 19{,}6\,x = 0.
    • Essa é a equação de um oscilador harmônico linear com frequência angular \omega = \sqrt{19{,}6} = \sqrt{2g} \approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s}.Explicando: para \ddot{x} + \omega^{2} x = 0 as soluções são oscilatórias, o que indica estabilidade (oscilações pequenas ao redor do equilíbrio).
    • Período das pequenas oscilações: T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2\pi}{4{,}427} \approx 1{,}42\\ \mathrm{s}.
  • Conclusão sobre estabilidade: o ponto (0,0) é estável no sentido de Lyapunov (pequenas perturbações geram oscilações ao redor do ponto), mas não é assintoticamente estável (não há amortecimento para fazê-lo voltar ao repouso). Em termos de dinâmica de fase, esse ponto é um centro (do sistema conservativo).

Passo 10

Resumo final rápido das formas importantes (já obtidas e úteis para a prova):
  • Energia cinética: \;T(x,\dot{x})=\big(1+4x^{2}\big)\dot{x}^{2}.
  • Energia potencial: \;V(x)=19{,}6\,x^{2}.
  • Equação de movimento (forma compacta): (1+4x^{2})\ddot{x} + 4x\dot{x}^{2} + 19{,}6\,x = 0.
  • Ponto de equilíbrio: (x,\dot{x})=(0,0), que é estável (centro), com \omega=\sqrt{19{,}6}\approx4{,}427\\ \mathrm{rad/s} e período T\approx1{,}42\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) T(x,\dot{x})=\big(1+4x^{2}\big)\dot{x}^{2}.
(b) V(x)=19{,}6\,x^{2}.
(c) (1+4x^{2})\ddot{x} + 4x\dot{x}^{2} + 19{,}6\,x = 0.
(d) O único ponto de equilíbrio é (x,\dot{x})=(0,0). É estável (centro); pequenas oscilações têm \omega=\sqrt{19{,}6}\approx4{,}427\\ \mathrm{rad/s} e período T\approx1{,}42\\ \mathrm{s}.

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