Uma partícula com massa
desloca-se sobre uma calha parabólica vertical com equação
, onde
é medida na horizontal e
na vertical (ambas em metros). Como tal, o movimento da partícula tem apenas um grau de liberdade, que pode ser escolhido como a coordenada
.
a) Escreva a equação da energia cinética em função de
.
b) Escreva a equação da energia potencial gravitacional em função de
(considere
).
c) Admitindo que sobre a partícula não atua nenhuma força conservativa, use a equação de Lagrange para encontrar a equação de movimento.
d) Encontre os pontos de equilíbrio do sistema no espaço de fase, e determine se são estáveis ou instáveis.
a) Escreva a equação da energia cinética em função de
b) Escreva a equação da energia potencial gravitacional em função de
c) Admitindo que sobre a partícula não atua nenhuma força conservativa, use a equação de Lagrange para encontrar a equação de movimento.
d) Encontre os pontos de equilíbrio do sistema no espaço de fase, e determine se são estáveis ou instáveis.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que foi dado, sem resolver nada ainda):
- Dados numéricos e geométricos:
- Massa da partícula:
. - A calha é descrita por
, com horizontal e vertical (metros). - A aceleração da gravidade:
.
- Massa da partícula:
- Observação importante do enunciado: a partícula está restrita à curva
, então o movimento tem um único grau de liberdade, que escolhemos como a coordenada generalizada . - O enunciado faz quatro solicitações:
(a) Escrever a energia cinética em função de(e ).
(b) Escrever a energia potencial gravitacional em função de.
(c) Admitindo que não atuam forças não conservativas (ou seja, só forças conservativas como a gravidade), usar a equação de Lagrange para obter a equação de movimento.
(d) Encontrar os pontos de equilíbrio no espaço de fase e determinar se são estáveis ou instáveis.
Passo 2
Entendendo a cinemática: como obter a velocidade da partícula em função de
e
.
- A posição na planta
é . - As componentes da velocidade são derivadas temporais:
Explicando: usei a regra da cadeia/derivada de potência: . Aqui tratei como função do tempo. - A velocidade escalar (módulo da velocidade) ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes:
Observação: fator comum poupa conta.
Passo 3
(a) Energia cinética em função de
e
.
- A definição padrão da energia cinética para uma partícula é
- Substituindo
e : Importante: com o fator simplifica, por isso ficou mais simples. - Resultado (forma limpa):
Passo 4
(b) Energia potencial gravitacional em função de
.
- Para gravidade uniforme, escolhemos a referência de potencial tal que
Aqui (peguei essa relação da equação da calha). - Substituindo
e os valores numéricos: - Resultado:
(em joules, porque em kg, em m/s² e em m).
Passo 5
Preparação para usar Lagrange: definição do Lagrangiano e da equação de Euler–Lagrange.
- O Lagrangiano é definido por
Explicando: isso reúne energia cinética e potencial, e a equação de movimento é obtida exigindo que a ação seja estacionária (princípio de Hamilton) — na prática usaremos a forma diferencial Euler–Lagrange. - A equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada
é Vou calcular passo a passo , a derivada temporal dela, e .
Passo 6
Cálculo de
e sua derivada temporal.
- Primeiro escrevo explicitamente
: - Derivada parcial de
em relação a : Explicando: tratei como constante na derivada parcial e derivei obtendo . - Agora a derivada temporal dessa expressão (usar regra do produto, porque
depende do tempo também): Aplicando a regra do produto , com e : - Para simplificar mais tarde, distribuo o 2:
Passo 7
Cálculo de
.
- Derivando
em relação a (tratando como independente na derivada parcial): - Para o primeiro termo:
(pois é tratado como constante aqui). - Para o segundo termo:
. - Assim:
Passo 8
Aplicando a equação de Euler–Lagrange e simplificando para obter a equação de movimento.
- A equação Euler–Lagrange é
Substituindo os resultados dos passos anteriores: - Agrupando termos semelhantes:
Então - Podemos simplificar dividindo por
: - Organização final (forma comum):
Alternativamente, isolando : - Esse é o EDO de segunda ordem que descreve o movimento da partícula sobre a calha parabólica (obtido pela equação de Lagrange).
Passo 9
(d) Encontrando pontos de equilíbrio no espaço de fase e classificando a estabilidade.
- Definição prática de ponto de equilíbrio no espaço de fase (variáveis
): é um ponto onde e simultaneamente, isto é, a configuração fica parada. - Substituindo
e na equação de movimento: Logo . - Portanto o único ponto de equilíbrio é
- Agora classificação da estabilidade: fazemos uma linearização da equação em torno de
. - Para pequenas oscilações (pequeno
e pequeno ) as parcelas não lineares como são de ordem superior (Produto envolvendo é não-linear) e podem ser desprezadas na linearização. - A equação linearizada fica:
- Essa é a equação de um oscilador harmônico linear com frequência angular
Explicando: para as soluções são oscilatórias, o que indica estabilidade (oscilações pequenas ao redor do equilíbrio). - Período das pequenas oscilações:
- Para pequenas oscilações (pequeno
- Conclusão sobre estabilidade: o ponto
é estável no sentido de Lyapunov (pequenas perturbações geram oscilações ao redor do ponto), mas não é assintoticamente estável (não há amortecimento para fazê-lo voltar ao repouso). Em termos de dinâmica de fase, esse ponto é um centro (do sistema conservativo).
Passo 10
Resumo final rápido das formas importantes (já obtidas e úteis para a prova):
- Energia cinética:
- Energia potencial:
- Equação de movimento (forma compacta):
- Ponto de equilíbrio:
, que é estável (centro), com e período .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) O único ponto de equilíbrio é
. É estável (centro); pequenas oscilações têm
e período
.