Escreva o laplaciano de um campo escalar de três variáveis em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o operador Laplaciano de um campo escalar de três variáveis nos sistemas de coordenadas cilíndricas ,(r,\varphi,z) e esféricas ,(r,\theta,\varphi). Vamos usar a teoria de operadores diferenciais em coordenadas curvilíneas, que se baseia nos fatores de escala (h₁,h₂,h₃).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, os fatores de escala são h_r=1, h_\varphi=r e h_z=1. A expressão geral do Laplaciano em coordenadas ortogonais é , nabla^2=1h1h2h3sumi=1^3partialpartial qil(h1h2h3hi^2partialpartial qir). Aplicando isso a ,(r,\varphi,z) resulta em:
nabla^2phi=1rpartialpartial rl(rpartialphipartial rr)+1r^2partial^2phipartialvarphi^2+partial^2phipartial z^2

Passo 3

Em coordenadas esféricas, os fatores de escala são h_r=1, h_\theta=r e h_\varphi=r\sin\theta. Usando a mesma fórmula geral, para ,(r,\theta,\varphi) obtemos:
nabla^2phi=1r^2partialpartial rl(r^2partialphipartial rr)+1r^2sinthetapartialpartialthetal(sinthetapartialphipartialthetar)+1r^2sin^2thetapartial^2phipartialvarphi^2

Resposta

Em cilíndricas:
nabla^2phi=1rpartialpartial rl(rpartialphipartial rr)+1r^2partial^2phipartialvarphi^2+partial^2phipartial z^2
Em esféricas:
nabla^2phi=1r^2partialpartial rl(r^2partialphipartial rr)+1r^2sinthetapartialpartialthetal(sinthetapartialphipartialthetar)+1r^2sin^2thetapartial^2phipartialvarphi^2

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