Escreva o laplaciano de um campo escalar de três variáveis em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o operador Laplaciano de um campo escalar de três variáveis nos sistemas de coordenadas cilíndricas ,(r,\varphi,z) e esféricas ,(r,\theta,\varphi). Vamos usar a teoria de operadores diferenciais em coordenadas curvilíneas, que se baseia nos fatores de escala (h₁,h₂,h₃).
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, os fatores de escala são h_r=1, h_\varphi=r e h_z=1. A expressão geral do Laplaciano em coordenadas ortogonais é ,
. Aplicando isso a ,(r,\varphi,z) resulta em:
Passo 3
Em coordenadas esféricas, os fatores de escala são h_r=1, h_\theta=r e h_\varphi=r\sin\theta. Usando a mesma fórmula geral, para ,(r,\theta,\varphi) obtemos:
Resposta
Em cilíndricas:
Em esféricas: