1. Escreva a lei da distribuição de Planck em termos do comprimento de onda \lambda em vez da freqüência v para obter \mathrm{R}_{\mathrm{T}}(\lambda).

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a lei de Planck, que normalmente vem em função da frequência \nu, de modo a obter a distribuição espectral em função do comprimento de onda \lambda. O conteúdo principal aqui é a mudança de variável entre espectro em frequência e espectro em comprimento de onda, usando a relação \nu = c/\lambda e a conservação de energia em cada intervalo diferencial.

Passo 2

A lei de Planck em função da frequência é
R_{T}(\nu) = \frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\;\frac{1}{\exp\bigl(\tfrac{h\nu}{kT}\bigr)-1}.
Para passar ao comprimento de onda, usamos que a energia emitida entre \nu e \nu + d\nu é a mesma entre \lambda e \lambda + d\lambda, ou seja
R_{T}(\nu)\,d\nu \;=\; R_{T}(\lambda)\,d\lambda.
Isso implica
R_{T}(\lambda) = R_{T}(\nu)\,\Bigl|\frac{d\nu}{d\lambda}\Bigr|.

Passo 3

Como \nu = c/\lambda, diferenciamos para achar
\frac{d\nu}{d\lambda} = -\,\frac{c}{\lambda^{2}},
e portanto
\Bigl|\frac{d\nu}{d\lambda}\Bigr| = \frac{c}{\lambda^{2}}.

Passo 4

Substituindo \nu = c/\lambda em R_{T}(\nu) e multiplicando por c/\lambda^{2}, temos
R_{T}(\lambda) = \frac{2h\,(c/\lambda)^{3}}{c^{2}}\;\frac{1}{\exp\bigl(\tfrac{h(c/\lambda)}{kT}\bigr)-1} \;\times\;\frac{c}{\lambda^{2}}.

Passo 5

Agrupando potências de c e \lambda, nota-se que (c/\lambda)^{3}\cdot c = c^{4}/\lambda^{3} e ainda há um 1/c^{2}, resultando em c^{2}, e \lambda^{3}\times\lambda^{2}=\lambda^{5}. Logo
R_{T}(\lambda) = \frac{2h\,c^{2}}{\lambda^{5}}\;\frac{1}{\exp\bigl(\tfrac{hc}{\lambda kT}\bigr)-1}.

Resposta

R_{T}(\lambda) = \frac{2\,h\,c^{2}}{\lambda^{5}}\;\frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{h\,c}{\lambda\,k\,T}\bigr)\;-\;1}.

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