E.3- Escreva as leis de transformação para os tensores:
(b) A_{o p q r s t}

Passo 1

O enunciado pede a lei de transformação de um tensor cujos componentes são A_{opqrst}. Trata-se de um tensor covariante de ordem 6 (isto é, tipo (0,6)), pois todos os seus índices estão em posição inferior. Para escrevê-la, precisamos lembrar como variam as componentes de um tensor covariante de ordem p sob mudança de coordenadas.

Passo 2

A lei geral de transformação de um tensor covariante de ordem p é:
T'_{i_{1}\dots i_{p}} = \frac{\partial x^{j_{1}}}{\partial x'^{i_{1}}} \;\cdots\; \frac{\partial x^{j_{p}}}{\partial x'^{i_{p}}} \, T_{j_{1}\dots j_{p}}\,.
Aqui cada fator \partial x^{j_{k}}/\partial x'^{i_{k}} corresponde a um índice covariante que “puxa” a derivada da transformação inversa de coordenadas.

Passo 3

No caso de A_{opqrst}, temos p=6. Logo os índices originais (o,p,q,r,s,t) se transformam nos novos índices (o',p',q',r',s',t') pela regra:
A'_{o'p'q'r's't'} = \frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{o'}} \, \frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{p'}} \, \frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{q'}} \, \frac{\partial x^{d}}{\partial x'^{r'}} \, \frac{\partial x^{e}}{\partial x'^{s'}} \, \frac{\partial x^{f}}{\partial x'^{t'}} \, A_{abcdef}\,,
onde a,b,c,d,e,f percorrem todos os valores de índice do sistema original.

Resposta

A'_{o'p'q'r's't'} = \frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{o'}} \frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{p'}} \frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{q'}} \frac{\partial x^{d}}{\partial x'^{r'}} \frac{\partial x^{e}}{\partial x'^{s'}} \frac{\partial x^{f}}{\partial x'^{t'}} \,A_{abcdef}\,.

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