E.3- Escreva as leis de transformação para os tensores:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a lei de transformação de um tensor cujos componentes são
. Trata-se de um tensor covariante de ordem 6 (isto é, tipo
), pois todos os seus índices estão em posição inferior. Para escrevê-la, precisamos lembrar como variam as componentes de um tensor covariante de ordem
sob mudança de coordenadas.
Passo 2
A lei geral de transformação de um tensor covariante de ordem
é:
Aqui cada fator
corresponde a um índice covariante que “puxa” a derivada da transformação inversa de coordenadas.
Passo 3
No caso de
, temos
. Logo os índices originais
se transformam nos novos índices
pela regra:
onde
percorrem todos os valores de índice do sistema original.