E.3- Escreva as leis de transformação para os tensores:
(c) A_{r s t}^{o p q}

Passo 1

O enunciado pede a lei de transformação de um tensor de tipo (3,3), ou seja, o tensor
A_{rst}^{\;opq}
com três índices contravariantes (o,p,q) e três covariantes (r,s,t). Para resolver, vamos usar a regra geral: a cada índice contravariante corresponde um fator \partial x'/\partial x e a cada índice covariante um fator \partial x/\partial x'.

Passo 2

Relembrando a transformação de ordem 1:
V'^{\,i} = \frac{\partial x'^{\,i}}{\partial x^{\,j}}\,V^{\,j}
para vetores contravariantes, e
\omega'_{\,i} = \frac{\partial x^{\,j}}{\partial x'^{\,i}}\,\omega_{\,j}
para vetores covariantes.

Passo 3

Para um tensor genérico de tipo (p,q) vale a regra
T'^{\,i_{1}\dots i_{p}}_{\,j_{1}\dots j_{q}} = \frac{\partial x'^{\,i_{1}}}{\partial x^{\,k_{1}}}\cdots \frac{\partial x'^{\,i_{p}}}{\partial x^{\,k_{p}}} \, \frac{\partial x^{\,\ell_{1}}}{\partial x'^{\,j_{1}}}\cdots \frac{\partial x^{\,\ell_{q}}}{\partial x'^{\,j_{q}}} \, T^{\,k_{1}\dots k_{p}}_{\,\ell_{1}\dots \ell_{q}}.

Passo 4

Aplicando ao caso (p,q)=(3,3) com T=A, i_{1}=o, i_{2}=p, i_{3}=q e j_{1}=r, j_{2}=s, j_{3}=t, obtemos
A'^{\,o'p'q'}_{\,r's't'} = \frac{\partial x'^{\,o'}}{\partial x^{\,o}}\, \frac{\partial x'^{\,p'}}{\partial x^{\,p}}\, \frac{\partial x'^{\,q'}}{\partial x^{\,q}}\, \frac{\partial x^{\,r}}{\partial x'^{\,r'}}\, \frac{\partial x^{\,s}}{\partial x'^{\,s'}}\, \frac{\partial x^{\,t}}{\partial x'^{\,t'}} \; A^{\,opq}_{\,rst}\,.

Resposta

A'^{\,o'p'q'}_{\,r's't'} = \frac{\partial x'^{\,o'}}{\partial x^{\,o}} \;\frac{\partial x'^{\,p'}}{\partial x^{\,p}} \;\frac{\partial x'^{\,q'}}{\partial x^{\,q}} \;\frac{\partial x^{\,r}}{\partial x'^{\,r'}} \;\frac{\partial x^{\,s}}{\partial x'^{\,s'}} \;\frac{\partial x^{\,t}}{\partial x'^{\,t'}} \;A^{\,opq}_{\,rst}\,.

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