E.3- Escreva as leis de transformação para os tensores:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a lei de transformação de componentes do tensor
sob mudança de coordenadas
. O conteúdo aqui é a regra geral de como tensores contravariantes e covariantes mudam: cada índice contravariante “puxa” um Jacobiano
e cada índice covariante “puxa” um Jacobiano inverso
.
Passo 2
Em geral, um tensor de tipo
, com três índices contravariantes e dois covariantes, transforma-se assim:
onde se assume a convenção de soma de Einstein sobre
.
Passo 3
Agora identificamos
,
,
(índices contravariantes) e
,
(índices covariantes). Os índices transformados serão
no alto e
embaixo. Substituindo, obtemos: