E.3- Escreva as leis de transformação para os tensores:
(d) A_{r s}^{o p q}

Passo 1

O enunciado pede a lei de transformação de componentes do tensor \,A_{r s}^{o p q} sob mudança de coordenadas \{x^i\}\to\{\bar x^{i'}\}. O conteúdo aqui é a regra geral de como tensores contravariantes e covariantes mudam: cada índice contravariante “puxa” um Jacobiano \partial \bar x/\partial x e cada índice covariante “puxa” um Jacobiano inverso \partial x/\partial \bar x.

Passo 2

Em geral, um tensor de tipo (3,2), com três índices contravariantes e dois covariantes, transforma-se assim:
\bar T^{i'j'k'}_{\,l'm'} = \frac{\partial \bar x^{\,i'}}{\partial x^{\,i}} \;\frac{\partial \bar x^{\,j'}}{\partial x^{\,j}} \;\frac{\partial \bar x^{\,k'}}{\partial x^{\,k}} \;\frac{\partial x^{\,l}}{\partial \bar x^{\,l'}} \;\frac{\partial x^{\,m}}{\partial \bar x^{\,m'}} \;T^{\,i j k}_{\,l m}
onde se assume a convenção de soma de Einstein sobre i,j,k,l,m.

Passo 3

Agora identificamos i\to o, j\to p, k\to q (índices contravariantes) e l\to r, m\to s (índices covariantes). Os índices transformados serão o',p',q' no alto e r',s' embaixo. Substituindo, obtemos:
\boxed{ \bar A^{\,o'p'q'}_{\,r's'} = \frac{\partial \bar x^{\,o'}}{\partial x^{\,o}} \;\frac{\partial \bar x^{\,p'}}{\partial x^{\,p}} \;\frac{\partial \bar x^{\,q'}}{\partial x^{\,q}} \;\frac{\partial x^{\,r}}{\partial \bar x^{\,r'}} \;\frac{\partial x^{\,s}}{\partial \bar x^{\,s'}} \;A^{\,o p q}_{\,r s} }

Resposta

\bar A^{\,o'p'q'}_{\,r's'} = \frac{\partial \bar x^{\,o'}}{\partial x^{\,o}} \;\frac{\partial \bar x^{\,p'}}{\partial x^{\,p}} \;\frac{\partial \bar x^{\,q'}}{\partial x^{\,q}} \;\frac{\partial x^{\,r}}{\partial \bar x^{\,r'}} \;\frac{\partial x^{\,s}}{\partial \bar x^{\,s'}} \;A^{\,o p q}_{\,r s}.

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