Escreva de maneira legível e organizando bem as ideias. Nas questões abaixo assuma que \beta=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} é uma base ortonormal positiva.
Determine o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}, sabendo que \vec{w} é ortogonal aos vetores \vec{u} e \vec{v}, o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} forma uma base negativa, o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é de 30 graus, o vetor \vec{u} é unitário, \|\vec{v}\|=3 e \|\vec{w}\|=7.

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Sabemos que \vec{w} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}, que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} vale 30^\circ, que \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=3, \|\vec{w}\|=7 e que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base de orientação negativa. Para calcular o volume usamos o produto misto
V = \bigl|\det[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\bigr| = \bigl|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}\bigr|.

Passo 2

Primeiro calculamos a norma do vetor \vec{u}\times\vec{v}. Pela fórmula da área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin(30^\circ) = 1 \cdot 3 \cdot \tfrac12 = \tfrac32.

Passo 3

Como \vec{w} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}, ele é paralelo (ou antiparalelo) a \vec{u}\times\vec{v}. Logo o ângulo \varphi entre \vec{w} e \vec{u}\times\vec{v} é 0 ou \pi. A orientação negativa nos diz que esse ângulo é \pi, mas na magnitude do produto escalar só conta |\cos\varphi|=1. Assim
\bigl|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}\bigr| = \|\vec{u}\times\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|\,|\cos\varphi| = \tfrac32 \cdot 7 \cdot 1 = \tfrac{21}{2}.

Resposta

O volume do paralelepípedo é \displaystyle \tfrac{21}{2}.

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