Escreva de maneira legível e organizando bem as ideias. Nas questões abaixo assuma que \beta=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} é uma base ortonormal positiva.
Verifique se a reta
r_{1}:\left\{\begin{array}{ccc} x= & 1+3 t \\\ y= & -1-2 t \\\ z= & t \end{array}\right.
é paralela ao plano \pi_{1}: x+2 y+z+3=0.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a reta
r_{1}:\begin{cases} x=1+3t,\\\ y=-1-2t,\\\ z=t \end{cases}
é paralela ao plano
\pi_{1}:x+2y+z+3=0.
O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos extrair o vetor direção da reta e o vetor normal do plano, e usar o produto escalar para checar o paralelismo.

Passo 2

O vetor direção \vec v de r_{1} vem dos coeficientes de t nas equações paramétricas. Assim,
\vec v = (3,\,-2,\,1).

Passo 3

O vetor normal \vec n do plano \pi_{1} é dado pelos coeficientes de x,y,z na equação do plano. Logo,
\vec n = (1,\,2,\,1).

Passo 4

Para que a reta seja paralela ao plano, sua direção deve ser ortogonal ao normal do plano, isto é, o produto escalar tem que ser zero:
\vec v\cdot \vec n =3\cdot1 + (-2)\cdot2 + 1\cdot1 =3 -4 +1 =0.
Como \vec v\cdot \vec n=0, concluímos que \vec v é perpendicular a \vec n, então r_{1} é paralela a \pi_{1}.

Resposta

Sim. A reta r_{1} é paralela ao plano \pi_{1} porque o vetor direção (3,-2,1) é ortogonal ao vetor normal (1,2,1).

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