Seja \left\{u_{1}, \cdots, u_{n}\right\} \in E uma base ortonormal. Prove que, para v, w \in E arbitrários, tem-se \langle v, w\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, u_{i}\right\rangle\left\langle w, u_{i}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço euclidiano E de dimensão n dotado de produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e base ortonormal \{u_{1},\dots,u_{n}\}, vale a identidade
\langle v, w\rangle \;=\;\sum_{i=1}^{n}\langle v, u_{i}\rangle\,\langle w, u_{i}\rangle
para quaisquer v,w\in E. Vamos usar a propriedade de expansão de vetores em base ortonormal e a linearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Como \{u_{1},\dots,u_{n}\} é base ortonormal, todo vetor v\in E se decompõe unicamente em
v \;=\;\sum_{i=1}^{n} \langle v, u_{i}\rangle\,u_{i}.
Aqui usamos que em base ortonormal o coeficiente na direção de u_{i} é exatamente \langle v,u_{i}\rangle.

Passo 3

Aplicando o produto interno com w e usando a linearidade na primeira componente, obtemos
\langle v, w\rangle =\Bigl\langle \sum_{i=1}^{n}\langle v,u_{i}\rangle\,u_{i},\;w\Bigr\rangle =\sum_{i=1}^{n}\langle v,u_{i}\rangle\,\langle u_{i},w\rangle.

Passo 4

Em espaços reais o produto interno é simétrico, isto é, \langle u_{i},w\rangle=\langle w,u_{i}\rangle. Logo
\langle v, w\rangle =\sum_{i=1}^{n}\langle v,u_{i}\rangle\,\langle w,u_{i}\rangle,
que é exatamente a fórmula pedida.

Resposta

\langle v, w\rangle=\sum_{i=1}^{n}\langle v, u_{i}\rangle\,\langle w, u_{i}\rangle.

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