Seja
uma base ortonormal. Prove que, para
arbitrários, tem-se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço euclidiano
de dimensão
dotado de produto interno
e base ortonormal
, vale a identidade
para quaisquer
. Vamos usar a propriedade de expansão de vetores em base ortonormal e a linearidade e simetria do produto interno.
Passo 2
Como
é base ortonormal, todo vetor
se decompõe unicamente em
Aqui usamos que em base ortonormal o coeficiente na direção de
é exatamente
.
Passo 3
Aplicando o produto interno com
e usando a linearidade na primeira componente, obtemos
Passo 4
Em espaços reais o produto interno é simétrico, isto é,
. Logo
que é exatamente a fórmula pedida.