estabelecer equações reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos:
\pi_{1}: 3 x-y+2 z-1=0 e \pi_{2}: x+2 y-3 z-4=0

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção dos planos
\pi_{1}:3x - y + 2z - 1 = 0 \quad\text{e}\quad \pi_{2}:x + 2y - 3z - 4 = 0
usando equações reduzidas na variável x. O conteúdo envolve resolver um sistema linear e parametrizar a reta.

Passo 2

Escrevemos o sistema associado:
\begin{cases} 3x - y + 2z = 1,\\\ x + 2y - 3z = 4. \end{cases}
Como queremos “reduzidas na variável x”, tomamos
x = t
como parâmetro.

Passo 3

Substituindo x=t na primeira equação:
3t - y + 2z = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = 3t + 2z - 1.
Agora essa expressão de y vai na segunda equação:
t + 2(3t + 2z - 1) - 3z = 4 \;\Longrightarrow\; t + 6t + 4z - 2 - 3z = 4 \;\Longrightarrow\; 7t + z = 6 \;\Longrightarrow\; z = 6 - 7t.
Retornando a y:
y = 3t + 2(6 - 7t) - 1 = 3t + 12 -14t -1 = -11t + 11.

Passo 4

Voltando de t para x, obtemos as equações reduzidas em função de x:
y = -11x + 11, \quad z = -7x + 6.

Resposta

As equações reduzidas da reta de interseção, tomando x como parâmetro, são
y = -11x + 11, \quad z = -7x + 6.

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