Escreva de maneira legível e organizando bem as ideias. Nas questões abaixo assuma que \beta=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} é uma base ortonormal positiva.
Calcule a distância entre as retas
r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=z \end{array} \quad e \quad r_{3}:\left\{\begin{array}{l} y=3 \\ z=2 x \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r_{2}:\;x=0,\;y=z \quad\text{e}\quad r_{3}:\;y=3,\;z=2x,
e pede a distância entre elas. Como são retas reversas (não paralelas nem concorrentes), usamos a fórmula
d \;=\;\frac{\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)\bigr|}{\|\vec v_1\times\vec v_2\|},
onde \vec v_1,\vec v_2 são os vetores diretores e A\in r_2,\;B\in r_3.

Passo 2

Parametrizamos cada reta e identificamos vetores diretores e pontos:
Para r_2, tomamos t=z, então
r_2:\;(x,y,z)=(0,0,0)+t\,(0,1,1),
portanto \vec v_1=(0,1,1) e escolhemos A=(0,0,0).
Para r_3, tomamos s=x, então
r_3:\;(x,y,z)=(0,3,0)+s\,(1,0,2),
portanto \vec v_2=(1,0,2) e escolhemos B=(0,3,0).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial dos diretores:
\vec v_1\times\vec v_2 =(0,1,1)\times(1,0,2) =(2,\,1,\,-1).

Passo 4

O vetor ligação é
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,3,0),
e seu produto escalar com \vec v_1\times\vec v_2 vale
\overrightarrow{AB}\cdot(\vec v_1\times\vec v_2) =(0,3,0)\cdot(2,1,-1)=3.

Passo 5

A norma de \vec v_1\times\vec v_2 é
\|\vec v_1\times\vec v_2\| =\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} =\sqrt{6}.
Logo a distância entre as retas é
d=\frac{|3|}{\sqrt{6}} =\frac{3}{\sqrt{6}} =\frac{\sqrt{6}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}

Exercícios relacionados