Escreva a matriz cc3 & 1 1 & -1 como combinação linear das matrizes ll1 & 1 1 & 0 ll0 & 0 1 & 1 e cc0 & 2 0 & -1.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz E como combinação linear das matrizes A, B e C, ou seja, encontrar escalares x, y, z tais que xA + yB + zC = E. Esse tema faz parte de combinação linear em espaços vetoriais (aqui o espaço de matrizes 2×2).

Passo 2

Vamos montar a expressão xA + yB + zC componente a componente. Sabendo que
A=1 & 11 & 0, B=0 & 01 & 1, C=0 & 20 & -1, E=3 & 11 & -1,
então
xA+yB+zC=x & xx & 0+0 & 0y & y+0 & 2z0 & -z =x & x+2zx+y & y - z

Passo 3

Igualando xA+yB+zC a E, obtemos o sistema de equações:
x = 3,
x + 2z = 1,
x + y = 1,
y - z = -1
Substituindo x=3 nas outras equações, temos:
3 + 2z = 1 z = -1,
3 + y = 1 y = -2.

Passo 4

Com esses valores, conferimos na última equação: y - z = -2 - ( -1 ) = -1, que bate com -1. Logo, a combinação é consistente.

Resposta

E = 3A - 2B - C

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