Seja
, tal que
. Prove que
e que
é semelhante à matriz
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz real
de ordem
satisfazendo
. O conteúdo principal aqui é o fato de que o polinômio
é o polinômio mínimo de
(ou divide o polinômio mínimo) e que
não fatora em
, o que nos leva à forma canônica real de blocos de companheiros.
Passo 2
Como
temos
. Isso implica que o polinômio mínimo
de
divide
. Mas em
o único divisor irreduzível de
é ele mesmo. Logo,
.
Passo 3
Um teorema de teoria de matrizes diz que se o polinômio mínimo de
é o produto de fatores irreduzíveis sobre
, então
é semelhante a uma matriz em bloco-diagonal onde cada bloco é o companheiro de cada fator irreduzível. Aqui só temos o fator
, de grau 2.
Passo 4
Portanto a forma canônica real de
é soma direta de
blocos 2×2, cada bloco sendo a matriz companheira de
. Essa matriz companheira é
block LaTeX
[
],
e como temos linhas no total e cada bloco é 2×2, segue que
.
block LaTeX
[
],
e como temos
Passo 5
Reagrupando esses
blocos 2×2 conseguimos colocá-los numa única matriz 2×2 de blocos:
block LaTeX
[
].
Isso mostra que é semelhante à matriz indicada, e que necessariamente
.
block LaTeX
[
].
Isso mostra que
Resposta
n=2k e A é semelhante a
.