Seja A in Mn(R), tal que A^2+In=0. Prove que n=2 k e que A é semelhante à matriz
A=(ll 0 & -Ik Ik & 0 )

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz real A de ordem n satisfazendo A^2 + In = 0. O conteúdo principal aqui é o fato de que o polinômio p(t)=t^2+1 é o polinômio mínimo de A (ou divide o polinômio mínimo) e que t^2+1 não fatora em R[t], o que nos leva à forma canônica real de blocos de companheiros.

Passo 2

Como A^2+In=0 temos A^2=-In. Isso implica que o polinômio mínimo m(t) de A divide t^2+1. Mas em R[t] o único divisor irreduzível de t^2+1 é ele mesmo. Logo, m(t)=t^2+1.

Passo 3

Um teorema de teoria de matrizes diz que se o polinômio mínimo de A é o produto de fatores irreduzíveis sobre R, então A é semelhante a uma matriz em bloco-diagonal onde cada bloco é o companheiro de cada fator irreduzível. Aqui só temos o fator t^2+1, de grau 2.

Passo 4

Portanto a forma canônica real de A é soma direta de k blocos 2×2, cada bloco sendo a matriz companheira de t^2+1. Essa matriz companheira é
block LaTeX
[
0 & -11 & 0
],
e como temos n linhas no total e cada bloco é 2×2, segue que n=2k.

Passo 5

Reagrupando esses k blocos 2×2 conseguimos colocá-los numa única matriz 2×2 de blocos:
block LaTeX
[
0 & -IkIk & 0
].
Isso mostra que A é semelhante à matriz indicada, e que necessariamente n=2k.

Resposta

n=2k e A é semelhante a 0 & -IkIk & 0.

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