Seja
uma matriz nilpotente tal que
.
a Mostre que dim
, para todo
.
b Prove que
, onde
e o é grau do polinômio minimal de
.
a Mostre que dim
b Prove que
Passo 1
Bora lá: temos uma matriz N ∈ M_n(ℝ) que é nilpotente, isto é, existe m tal que N^m=0, e
com
. Precisamos mostrar em (a) que
para todo
e em (b) que
, onde
é o grau do polinômio minimal de N. Vamos usar propriedades de transformações lineares, como o Teorema da Dimensão (Rank-Nullity), e a forma do polinômio minimal para matrizes nilpotentes.
Passo 2
Para provar (a), considere a restrição de N como aplicação linear
Primeiro, se
então
implica
, logo
. Assim qualquer
em
é a imagem de
por
, mostrando que essa restrição é sobrejetiva. O núcleo dela é
Pelo Teorema da Dimensão, vale
Como
e a imagem é
, segue
Passo 3
Agora vamos usar indução em
. Para
temos
. Suponha que
. Então
fechando a indução e mostrando
para todo
.
Passo 4
Para o item (b), note que o polinômio minimal de uma matriz nilpotente de índice
é
. Isso significa que
e
. Logo
de onde
. Aplicando o resultado de (a) com
obtemos
que é exatamente o que queríamos:
.
Resposta
a) Para todo
,
. b) Se o grau do polinômio minimal é
então
.