Seja N in Mn(R) uma matriz nilpotente tal que dim ker(N)=k, 0.
a Mostre que dim l >= 1, para todo n <= k r.
b Prove que r, onde N e o é grau do polinômio minimal de .

Passo 1

Bora lá: temos uma matriz N ∈ M_n(ℝ) que é nilpotente, isto é, existe m tal que N^m=0, e dimker(N)=k com 0. Precisamos mostrar em (a) que dimker(N^l)<= kl para todo l>=1 e em (b) que n<= kr, onde r é o grau do polinômio minimal de N. Vamos usar propriedades de transformações lineares, como o Teorema da Dimensão (Rank-Nullity), e a forma do polinômio minimal para matrizes nilpotentes.

Passo 2

Para provar (a), considere a restrição de N como aplicação linear
N|ker(N^l):ker(N^l)toker(N^l-1)
Primeiro, se yinker(N^l-1) então N^l-1(y)=0 implica N^l(y)=0, logo yinker(N^l). Assim qualquer y em ker(N^l-1) é a imagem de y por N|ker(N^l), mostrando que essa restrição é sobrejetiva. O núcleo dela é
xinker(N^l):N(x)=0=ker(N)
Pelo Teorema da Dimensão, vale
dimker(N|ker(N^l))+dimIm(N|ker(N^l))=dimker(N^l)
Como dimker(N|ker(N^l))=k e a imagem é ker(N^l-1), segue
dimker(N^l)=k+dimker(N^l-1)

Passo 3

Agora vamos usar indução em l. Para l=1 temos dimker(N)=k=1cdot k. Suponha que dimker(N^l-1)<= k(l-1). Então
dimker(N^l)=k+dimker(N^l-1)<= k+k(l-1)=kl,
fechando a indução e mostrando dimker(N^l)<= kl para todo l>=1.

Passo 4

Para o item (b), note que o polinômio minimal de uma matriz nilpotente de índice r é m(t)=t^r. Isso significa que N^r=0 e N^r-1neq0. Logo
ker(N^r)= R^n,
de onde dimker(N^r)=n. Aplicando o resultado de (a) com l=r obtemos
n=dimker(N^r)<= kr,
que é exatamente o que queríamos: n<= kr.

Resposta

a) Para todo l>=1, dimker(N^l)<= kl. b) Se o grau do polinômio minimal é r então n<= kr.

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