Sejam S e T operadores lineares de R^2 definidos por S(x, y)=(x-2 y, y) e T(x, y)=(2 x, x+2 y). Determinar:
S+T

Passo 1

A gente tem dois operadores lineares em R^2: S(x,y)=(x-2y,y) e T(x,y)=(2x,x+2y). O conteúdo é soma de operadores lineares, e vamos usar a definição (S+T)(v)=S(v)+T(v).

Passo 2

Para qualquer vetor (x,y), aplicamos direto a definição de soma:
(S+T)(x,y)=S(x,y)+T(x,y)
Substituindo as expressões dadas:
S(x,y)=(x-2y,y),
T(x,y)=(2x,x+2y)

Passo 3

Agora é só somar componente a componente:
  • Primeira componente: (x-2y)+(2x)=3x-2y
  • Segunda componente: y+(x+2y)=x+3y

Passo 4

A gente pode também ver a matriz de S+T na base canônica:
S+T = 3 & -21 & 3

Resposta

(S+T)(x,y)=(3x-2y,,x+3y)

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