Mostre que toda matriz é semelhante à sua transposta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz é semelhante à sua transposta. O conteúdo aqui é a relação de semelhança entre matrizes e a forma de Jordan, pois vamos usar que qualquer matriz complexa é similar a uma matriz em forma de Jordan.
Passo 2
Pela teoria de Jordan, existe uma matriz invertível tal que
onde é a forma de Jordan de , ou seja, uma matriz em blocos de Jordan na diagonal.
Passo 3
Cada bloco de Jordan (de tamanho ) tem a forma
Passo 4
Vamos mostrar que Jk é semelhante a Jk^T. Defina a matriz de permutação antidiagonal Pk por
(Pk)ij = 1,& i+j=k+1,0,&caso contrárioá
É fácil verificar que Pk^T = Pk e Pk^-1=Pk, e que Pk Jk Pk = Jk^T
Passo 5
Como J é bloco-diagonal com blocos Jk, tomando
P=oplusk Pk
obtém-se PJP = J^T
Isto mostra que J é semelhante a J^T.
Passo 6
Para concluir, note que
A^T = (SJS^-1)^T = (S^-1)^T J^T S^T
Se definirmos X = S^T P, então A^T = X^-1 J X,
logo A^T é semelhante a J, e consequentemente a A.