Mostre que toda matriz A in Mn(C) é semelhante à sua transposta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz Ain Mn(C) é semelhante à sua transposta. O conteúdo aqui é a relação de semelhança entre matrizes e a forma de Jordan, pois vamos usar que qualquer matriz complexa é similar a uma matriz em forma de Jordan.

Passo 2

Pela teoria de Jordan, existe uma matriz invertível S tal que
A = SJS^-1,
onde J é a forma de Jordan de A, ou seja, uma matriz em blocos de Jordan na diagonal.

Passo 3

Cada bloco de Jordan Jk (de tamanho k) tem a forma
Jk = λ & 1 & 0 & cdots & 00 & λ & 1 & ddots & vdotsvdots & ddots & ddots & ddots & 00 & cdots & 0 & λ & 10 & cdots & cdots & 0 & λ

Passo 4

Vamos mostrar que Jk é semelhante a Jk^T. Defina a matriz de permutação antidiagonal Pk por
(Pk)ij = 1,& i+j=k+1,0,&caso contrárioá
É fácil verificar que Pk^T = Pk e Pk^-1=Pk, e que
Pk Jk Pk = Jk^T

Passo 5

Como J é bloco-diagonal com blocos Jk, tomando
P=oplusk Pk
obtém-se
PJP = J^T
Isto mostra que J é semelhante a J^T.

Passo 6

Para concluir, note que
A^T = (SJS^-1)^T = (S^-1)^T J^T S^T
Se definirmos X = S^T P, então
A^T = X^-1 J X,
logo A^T é semelhante a J, e consequentemente a A.

Resposta

Portanto, A é semelhante à sua transposta A^T.

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