Escreva a matriz dada como produto de matrizes elementares.
(a) [ccc1 & 0 & -2 0 & 4 & 3 0 & 0 & 1]
(b) [lll1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para escrever cada matriz dada como produto de matrizes elementares. Vamos usar a interpretação de matrizes elementares como as que, quando multiplicadas à esquerda, realizam operações elementares de linhas na identidade.

Passo 2

(a) Considere
A = 1 & 0 & -2[6pt]0 & 4 & 3[3pt]0 & 0 & 1
Partimos de I3 e realizamos estas operações de linha em ordem:
1. R2 4cdot R2.
2. R2 R2+3cdot R3.
3. R1 R1-2cdot R3.
As matrizes elementares correspondentes são
E1=1&0&00&4&00&0&1, E2=I3+3cdot E2,3=1&0&00&1&30&0&1, E3=I3-2cdot E1,3=1&0&-20&1&00&0&1
Então
A = E3cdot E2cdot E1 ]

Passo 3

(b) Considere
B = 1 & 1 & 0[3pt]1 & 1 & 1[3pt]0 & 1 & 1
Para achar uma fatoração em matrizes elementares podemos eliminar B a I3 e depois inverter a sequência. Aplicamos em B as operações:
(i); R2 R2-R1,
(ii); trocar R2 e R3,
(iii); R1 R1-R2,
(iv); R1 R1+R3,
(v); R2 R2-R3,
chegando a I3. As matrizes elementares correspondentes às operações inversas (na mesma ordem direta) são
E1 = I3 - E2,1, E2 = P2,3, E3 = I3 - E1,2, E4 = I3 + E1,3, E5 = I3 - E2,3,
once P2,3 troca as linhas 2 e 3. Então
B = E1cdot E2cdot E3cdot E4cdot E5 ]

Resposta

(a) A = l(I3-2E1,3r),l(I3+3E2,3r),diag(1,4,1)
(b) B = l(I3 - E2,1r),P2,3,l(I3 - E1,2r),l(I3 + E1,3r),l(I3 - E2,3r)

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