Sem fazer contas, determine se o sistema homogêneo tem soluções não triviais.
(a)
(b) lx+3 y-z=0 y-8 z=0 4 z=0
Passo 1
Temos dois sistemas homogêneos e queremos saber se cada um admite solução não trivial. O critério geral é: um sistema homogêneo Ax=0 em n incógnitas tem solução não trivial se, e somente se,
rank(A) < n
No caso de sistema quadrado (n equações e n incógnitas), isso equivale a det(A)=0. Se houver menos equações do que incógnitas, então rank(A)<= m<n e sempre há solução não trivial.
Passo 2
Para o sistema (a) temos 3 equações e 4 incógnitas (x,y,z,w). Como o número de equações m=3 é menor que o número de incógnitas n=4, vale
rank(A)<= 3 < 4,
logo existem variáveis livres e o sistema admite soluções não triviais.
Passo 3
No sistema (b) há 3 equações em 3 incógnitas. Escrevendo em forma escalonada:
x + 3y - z = 0, x+y - 8z = 0, x+0x + 0y + 4z = 0,
vemos que os coeficientes na diagonal principal são 1, 1 e 4, todos não nulos. Isso implica det(A)neq 0 e, portanto, rank(A)=3=n, dando apenas a solução trivial x=0.
Resposta
(a) Sim, tem soluções não triviais.
(b) Não, só admite a solução trivial.