(a) Se A for uma matriz com três linhas e cincos colunas, qual é o número máximo possíveç de pivôs em sua forma escalonada reduzida?
(b) Se B for uma matriz com três linhas e seis colunas, cuja última coluna só tem zeros, qual é o número máximo possível de parâmetros da solução geral do sistema linear cuja matriz aumentada é B ?
(c) Se C for uma matriz com cinco linhas e três coluna, qual é o número mínimo possível de linhas inteiras de zeros em qualquer forma escalonada de C ?

Passo 1

O enunciado tem três itens envolvendo posto (rank), pivôs, variáveis livres e linhas de zeros em forma escalonada. Vamos usar:
– Para uma matriz mtimes n vale
rank<=minm,n.
– Em forma escalonada reduzida, o número de pivôs é igual ao posto.
– Num sistema homogêneo com n incógnitas, o número de parâmetros livres é n-rank.
– Numa forma escalonada de uma matriz mtimes n, o número de linhas inteiras de zeros é m-rank.

Passo 2

(a) A é 3times5. Logo
rank(A)<=min3,5=3
e o máximo de pivôs em sua forma escalonada reduzida é 3.

Passo 3

(b) B é 3times6 com última coluna toda zero, logo define um sistema homogêneo de 5 incógnitas. O número de parâmetros livres vale
5-rank(B)
Como podemos ter rank(B)=0 (matriz nula), o máximo de parâmetros é 5-0=5.

Passo 4

(c) C é 5times3, então
rank(C)<=min5,3=3
O número de linhas nulas em qualquer forma escalonada é
5-rank(C),
que atinge o mínimo quando rank(C)=3, resultando em 5-3=2 linhas inteiras de zeros.

Resposta

(a) 3
(b) 5
(c) 2

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