(a) Se
for uma matriz com três linhas e cincos colunas, qual é o número máximo possíveç de pivôs em sua forma escalonada reduzida?
(b) Se
for uma matriz com três linhas e seis colunas, cuja última coluna só tem zeros, qual é o número máximo possível de parâmetros da solução geral do sistema linear cuja matriz aumentada é
?
(c) Se
for uma matriz com cinco linhas e três coluna, qual é o número mínimo possível de linhas inteiras de zeros em qualquer forma escalonada de
?
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado tem três itens envolvendo posto (rank), pivôs, variáveis livres e linhas de zeros em forma escalonada. Vamos usar:
– Para uma matriz vale
.
– Em forma escalonada reduzida, o número de pivôs é igual ao posto.
– Num sistema homogêneo com incógnitas, o número de parâmetros livres é
.
– Numa forma escalonada de uma matriz , o número de linhas inteiras de zeros é
.
– Para uma matriz
– Em forma escalonada reduzida, o número de pivôs é igual ao posto.
– Num sistema homogêneo com
– Numa forma escalonada de uma matriz
Passo 2
(a) A é
. Logo
e o máximo de pivôs em sua forma escalonada reduzida é 3.
Passo 3
(b) B é
com última coluna toda zero, logo define um sistema homogêneo de
incógnitas. O número de parâmetros livres vale
Como podemos ter
(matriz nula), o máximo de parâmetros é
.
Passo 4
(c) C é
, então
O número de linhas nulas em qualquer forma escalonada é
que atinge o mínimo quando
, resultando em
linhas inteiras de zeros.
Resposta
(a) 3
(b) 5
(c) 2
(b) 5
(c) 2