Escreva a matriz A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, onde a_{i j}=(-1)^{i+j} para i \neq j e a_{i j}=0 se i=j.

Passo 1

O enunciado pede para montar a matriz A=(a_{ij})_{3\times3}\) tal que \[a_{ij} = \begin{cases} (-1)^{i+j}, & i \neq j,\\\\ 0, & i=j. \end{cases}
O conteúdo envolve preencher a matriz usando a definição de cada entrada em função de i\] e \(j.

Passo 2

Observamos que na diagonal principal i=j vale sempre
a_{ii}=0.
Para i\neq j, o valor de a_{ij} depende da paridade de i+j:
  • Se i+j é par, então (-1)^{i+j}=1.
  • Se i+j é ímpar, então (-1)^{i+j}=-1.

Passo 3

Vamos calcular linha a linha:
Para i=1: \;a_{11}=0, \;a_{12}=(-1)^{1+2}=(-1)^{3}=-1, \;a_{13}=(-1)^{1+3}=(-1)^{4}=1.
Para i=2: \;a_{21}=(-1)^{2+1}=(-1)^{3}=-1, \;a_{22}=0, \;a_{23}=(-1)^{2+3}=(-1)^{5}=-1.
Para i=3: \;a_{31}=(-1)^{3+1}=(-1)^{4}=1, \;a_{32}=(-1)^{3+2}=(-1)^{5}=-1, \;a_{33}=0.

Passo 4

Agrupando todos esses resultados, a matriz A fica:
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 0 & -1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 0 & -1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

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