Mostre que o conjunto v1=(1,2,1), v2=(1,0,-1) e v3=(1,-1,1) forma uma base ortogonal do R^3.

Passo 1

Resumindo, temos os vetores
;v1=(1,2,1),
;v2=(1,0,-1)
e
;v3=(1,-1,1)
e queremos mostrar que eles formam uma base ortogonal de R^3. Para isso, usamos que em R^3 um conjunto de três vetores ortogonais e não nulos é automaticamente uma base (são linearmente independentes e têm a mesma dimensão do espaço).

Passo 2

Vamos calcular os produtos escalares entre cada par de vetores para verificar ortogonalidade:
  • lang<= v1,v2rang<= =1cdot1+2cdot0+1cdot(-1)=1-1=0
  • lang<= v1,v3rang<= =1cdot1+2cdot(-1)+1cdot1=1-2+1=0
  • lang<= v2,v3rang<= =1cdot1+0cdot(-1)+(-1)cdot1=1-1=0
    Como todos os produtos escalares são zero, os vetores são ortogonais dois a dois.

Passo 3

Precisamos também garantir que nenhum vetor seja o vetor zero, para assegurar independência linear:
|v1|=raiz1^2+2^2+1^2=raiz6neq0, |v2|=raiz1^2+0^2+(-1)^2=raiz2neq0, |v3|=raiz1^2+(-1)^2+1^2=raiz3neq0
Portanto, todos são não nulos.

Passo 4

Em R^3, três vetores ortogonais e não nulos são linearmente independentes e, como seu número coincide com a dimensão do espaço, formam uma base. Logo, v1,v2,v3 é uma base ortogonal de R^3.

Resposta

Os vetores v1, v2 e v3 são ortogonais entre si e não nulos, portanto formam uma base ortogonal de R^3.

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