Mostre que o conjunto
e
forma uma base ortogonal do
.
Passo 1
Resumindo, temos os vetores
,
e
e queremos mostrar que eles formam uma base ortogonal de . Para isso, usamos que em
um conjunto de três vetores ortogonais e não nulos é automaticamente uma base (são linearmente independentes e têm a mesma dimensão do espaço).
e
e queremos mostrar que eles formam uma base ortogonal de
Passo 2
Vamos calcular os produtos escalares entre cada par de vetores para verificar ortogonalidade:
-
-
-
Como todos os produtos escalares são zero, os vetores são ortogonais dois a dois.
Passo 3
Precisamos também garantir que nenhum vetor seja o vetor zero, para assegurar independência linear:
Portanto, todos são não nulos.
Passo 4
Em
, três vetores ortogonais e não nulos são linearmente independentes e, como seu número coincide com a dimensão do espaço, formam uma base. Logo,
é uma base ortogonal de
.
Resposta
Os vetores
,
e
são ortogonais entre si e não nulos, portanto formam uma base ortogonal de
.