Se f é uma função harmônica, ou seja, nabla^2 f=0, mostre que a integral de linha integral fy d x-fx d y é independente do caminho em qualquer região simples D.

Passo 1

O enunciado afirma que f(x,y) é harmônica, isto é,
nabla^2 f = fxx + fyy = 0,
e pede para mostrar que a integral de linha
integralgamma fy,dx ;-; fx,dy
é independente do caminho gamma em qualquer região simplesmente conexa D.
Para isso vamos usar o critério de independência de caminho: num domínio simplesmente conexo, uma forma diferencial
omega = P(x,y),dx + Q(x,y),dy
é exata (logo seu integral é independente do caminho) se e somente se ela for fechada, ou seja,
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x

Passo 2

Identificamos na forma dada:
P(x,y) = fy(x,y), Q(x,y) = -,fx(x,y)
Vamos então verificar o critério de forma fechada:
partial Ppartial y ;=; partialpartial yl(fyr) ;=; fyy, partial Qpartial x ;=; partialpartial xl(-,fxr) ;=; -,fxx

Passo 3

Para que omega seja fechada precisamos de
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x,
isto é,
fyy ;=; -,fxx ;Long<=ftrightarrow; fxx + fyy = 0
Mas essa última igualdade é exatamente a condição de que f seja harmônica.

Passo 4

Como f é harmônica temos nabla^2 f = fxx+fyy=0. Logo
partial Ppartial y ;=; fyy ;=; -,fxx ;=; partial Qpartial x,
portanto omega = fy,dx - fx,dy é uma forma fechada em D.

Passo 5

Em qualquer região simplesmente conexa, toda forma fechada é exata, o que implica que
integralgamma fy,dx - fx,dy
depende apenas dos pontos finais de gamma e não do caminho escolhido. Em outras palavras, a integral de linha é independente do caminho.

Resposta

A integral de linha integral fy,dx - fx,dy é independente do caminho em qualquer região simplesmente conexa D, pois a forma diferencial é fechada pelo fato de f ser harmônica.

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