Se
é uma função harmônica, ou seja,
, mostre que a integral de linha
é independente do caminho em qualquer região simples
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é harmônica, isto é,
e pede para mostrar que a integral de linha
é independente do caminho
em qualquer região simplesmente conexa
.
Para isso vamos usar o critério de independência de caminho: num domínio simplesmente conexo, uma forma diferencial
Para isso vamos usar o critério de independência de caminho: num domínio simplesmente conexo, uma forma diferencial
é exata (logo seu integral é independente do caminho) se e somente se ela for fechada, ou seja,
Passo 2
Identificamos na forma dada:
Vamos então verificar o critério de forma fechada:
Passo 3
Para que
seja fechada precisamos de
isto é,
Mas essa última igualdade é exatamente a condição de que
seja harmônica.
Passo 4
Como
é harmônica temos
. Logo
portanto
é uma forma fechada em
.
Passo 5
Em qualquer região simplesmente conexa, toda forma fechada é exata, o que implica que
depende apenas dos pontos finais de
e não do caminho escolhido. Em outras palavras, a integral de linha é independente do caminho.
Resposta
A integral de linha
é independente do caminho em qualquer região simplesmente conexa
, pois a forma diferencial é fechada pelo fato de
ser harmônica.