Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva.
y=x^3, 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo: o enunciado pede que a gente escreva, mas não calcule, uma integral que represente o comprimento da curva
y = x^3, 0 <= x <= 1
Conteúdo: cálculo integral (comprimento de arco).
O que vamos precisar:
  1. A derivada da função, já que o comprimento de arco para y=f(x) de a até b é dado por
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx
  1. Substituir f'(x) nessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, acha a derivada de y=x^3.
  • Regra do expoente: se y=x^n, então y'=n,x^n-1.
  • Aqui n=3, logo
y' = 3x^2

Passo 3

Agora é só encaixar y'=3x^2 na fórmula do comprimento de arco. Temos a=0 e b=1, então
L = integral0^1 raiz1 + l(3x^2r)^2,dx = integral0^1 raiz1 + 9x^4,dx

Resposta

L = integral0^1 raiz1 + 9x^4,dx

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