1- Seja f(x)=x^{2}-2 x+3, mostre, pela definição de derivada, que f^{\prime}(x)=2 x-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de derivada, que para a função
f(x)=x^{2}-2x+3
temos
f'(x)=2x-2.
O que vamos usar é a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Vamos calcular primeiro f(x+h). Substituindo x+h em f,
f(x+h)=(x+h)^{2}-2(x+h)+3 =x^{2}+2xh+h^{2}-2x-2h+3.

Passo 3

Agora formamos o quociente de diferença e simplificamos:
f(x+h)-f(x) =\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-2x-2h+3\bigr)-\bigl(x^{2}-2x+3\bigr) =2xh+h^{2}-2h.
Logo,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{2xh+h^{2}-2h}{h} =2x+h-2.

Passo 4

Aplicando o limite quando h\to0,
f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h-2)=2x-2.

Resposta

f'(x)=2x-2

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