Sabendo que \sqrt[3]{8}=2, use linerizocão para calcular uma aproximação para \sqrt[3]{8,1}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt[3]{8,1} sabendo que \sqrt[3]{8}=2. O conteúdo envolvido é a linearização (aproximação linear) de uma função em torno de um ponto próximo cujo valor conhecemos. Vamos usar derivadas para construir a reta tangente a f(x)=x^{1/3} em x_0=8.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^{1/3},
e tomamos o ponto de expansão x_0 = 8. A variação é
\Delta x = 8,1 - 8 = 0,1.
Sabemos que
f(8) = \sqrt[3]{8} = 2.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}.
Em x_0=8 isso vale
f'(8) = \frac{1}{3}\,(8)^{-2/3} = \frac{1}{3}\,\bigl(\sqrt[3]{8}\bigr)^{-2} = \frac{1}{3}\,\bigl(2\bigr)^{-2} = \frac{1}{3}\,\frac{1}{4} = \frac{1}{12}.

Passo 4

Usando a aproximação linear
f(8+\Delta x)\approx f(8) + f'(8)\,\Delta x,
temos
\sqrt[3]{8,1} \approx 2 + \frac{1}{12}\cdot 0,1 = 2 + 0,00833\ldots = 2,00833\ldots

Resposta

A aproximação por linearização é
\sqrt[3]{8,1} \approx 2,00833.

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