(0,5 pontos cada item) Considere a função f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-1}+2.
(a) Qual é o domínio desta função?
(b) Quais são as equações das assíntotas verticais (se existirem) desta função?
(c) Quais são as equações das assíntotas horizontais (se existirem) desta função?
(d) Quais são as raízes desta função?
(e) Calcule, se possível, f(0).
(f) Utilizando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-1}+2
e pede: (a) domínio, (b) assíntotas verticais, (c) assíntotas horizontais, (d) raízes, (e) valor em x=0 e (f) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de funções racionais: domínio, simplificação, limites no infinito e determinacão de zeros.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja não nulo:
x^{2}-1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq \pm1.
Logo,
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.

Passo 3

Para ver as assíntotas verticais, simplificamos a função quando possível:
f(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}+2 =\frac{1}{x+1}+2,\quad x\neq\pm1.
Dessa forma, o fator x-1 cancela, indicando que em x=1 há um ponto de remoção (buraco) e não assíntota. O único valor que faz x+1=0 é x=-1, gerando assíntota vertical
x=-1.

Passo 4

Para determinar assíntotas horizontais, calculamos o limite quando x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(\frac{1}{x+1}+2\Bigr) =0+2=2.
Portanto, a assíntota horizontal é y=2.

Passo 5

As raízes vêm de f(x)=0:
\frac{x-1}{x^{2}-1}+2=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)+2(x^{2}-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+x-3=0.
Resolvendo a quadrática:
\Delta=1+24=25, \quad x=\frac{-1\pm5}{4}\in\{1,-\tfrac{3}{2}\}.
Como x=1 não pertence ao domínio, a única raiz é
x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Para calcular f(0), basta substituir:
f(0)=\frac{0-1}{0^{2}-1}+2 =\frac{-1}{-1}+2=1+2=3.

Passo 7

Esboço do gráfico usando as informações:
  • Domínio: x\neq -1,1. Há um buraco em x=1 com valor de limite \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=\tfrac12+2=2{,}5.
  • Assíntotas: vertical x=-1, horizontal y=2.
  • Intercepto em y: (0,3).
  • Raiz: (-\tfrac32,0).
  • Para x<-1, x+1<0 e 1/(x+1)\to0^{-}, então a curva aproxima-se de y=2 vindo de baixo; em x\to-1^{-} vai a -\infty.
  • Para -1<x<1, 1/(x+1)>0, decai de +\infty (em x\to-1^{+}) até 2{,}5 (em x\to1^{-}).
  • Para x>1, de 2{,}5 (em x\to1^{+}) decresce e se aproxima de 2 à medida que x\to+\infty.
    Com isso obtém-se dois ramos de hipérbole deslocada e o buraco em x=1.

Resposta

(a) \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.
(b) Assíntota vertical: x=-1.
(c) Assíntota horizontal: y=2.
(d) Raiz: x=-\tfrac{3}{2}.
(e) f(0)=3.
(f) Esboço conforme passo 7 acima.

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