Escreva a negação das afirmações a) e b) e responda às perguntas em c):
a) Todos os elementos do conjunto A satisfazem a propriedade " p ".
b) Há disciplinas com número ímpar de créditos no catálogo de disciplinas da UFABC.
c) Pessoa 1 diz: Existem disciplinas em que todos os alunos são aprovados. Pessoa 2 responde: Não, há disciplinas em que alunos são reprovados.
Pessoa 3 completa: Em toda disciplina há reprovado(s)!
Pessoa 2 negou Pessoa 1? Pessoa 3 negou Pessoa 1? É possível que duas dessas frases não se contradigam?

Passo 1

O enunciado pede:
a) Negar a afirmação “Todos os elementos do conjunto A satisfazem a propriedade p”.
b) Negar a afirmação “Há disciplinas com número ímpar de créditos no catálogo de disciplinas da UFABC”.
c) Dadas três pessoas com afirmações sobre aprovação em disciplinas, determinar se a Pessoa 2 nega a 1, se a Pessoa 3 nega a 1, e verificar se é possível que duas dessas frases não se contradigam. Para isso vamos usar lógica de predicados e as leis de negação de quantificadores.

Passo 2

Negação de a):
A afirmação original é
\forall x\in A:\;p(x).
Negando, troca-se \forall por \exists e nega-se a propriedade:
\neg\bigl(\forall x\in A:\;p(x)\bigr) \equiv \exists x\in A:\;\neg p(x).

Passo 3

Negação de b):
A afirmação original é
\exists d:\;\text{créditos}(d)\text{ é ímpar}.ééí
Negando, troca-se \exists por \forall e nega-se a propriedade “ímpar”:
\neg\bigl(\exists d:\;\text{créditos}(d)\text{ é ímpar}\bigr) \equiv \forall d:\;\text{créditos}(d)\text{ é par}.ééíéé

Passo 4

Formalização das frases em c):
Pessoa 1: “Existem disciplinas em que todos os alunos são aprovados.”
P_1:\;\exists D:\;\forall s\in D:\;\text{aprovado}(s,D).
Pessoa 2: “Não, há disciplinas em que alunos são reprovados.”
P_2:\;\exists D:\;\exists s\in D:\;\neg\text{aprovado}(s,D).
Pessoa 3: “Em toda disciplina há reprovado(s)!”
P_3:\;\forall D:\;\exists s\in D:\;\neg\text{aprovado}(s,D).
Negação de P_1 é
\neg P_1:\;\forall D:\;\exists s\in D:\;\neg\text{aprovado}(s,D),
que coincide com P_3.

Passo 5

Pessoa 2 negou Pessoa 1?
A negação completa de P_1 é \forall D\,\exists s\,\neg\text{aprovado}(s,D), isto é, P_3. Mas P_2 diz apenas \exists D\,\exists s\,\neg\text{aprovado}(s,D), que é mais fraco que \neg P_1. Portanto Pessoa 2 não negou completamente Pessoa 1.

Passo 6

Pessoa 3 negou Pessoa 1?
Sim, pois P_3 é exatamente \neg P_1. Logo Pessoa 3 negou Pessoa 1.

Passo 7

É possível que duas dessas frases não se contradigam?
  • P_1 e P_2 podem ser verdadeiras simultaneamente: basta ter uma disciplina onde todos passam (satisfaz P_1) e outra onde há reprovações (satisfaz P_2).
  • P_2 e P_3 também podem coexistir porque P_3 implica P_2.
  • P_1 e P_3 são mutuamente excludentes P_3 é a negação de P_1.

Resposta

a) \exists x\in A:\;\neg p(x).
b) \forall d:\;\text{créditos}(d)\text{ é par}éé.
c) Pessoa 2 não negou Pessoa 1. Pessoa 3 negou Pessoa 1. É possível que as frases de Pessoa 1 e Pessoa 2 não se contradigam, e também que as de Pessoa 2 e Pessoa 3 não se contradigam, mas Pessoa 1 e Pessoa 3 são contraditórias.

Exercícios relacionados