Escreva a negação das afirmações a) e b) e responda às perguntas em c):
a) Todos os elementos do conjunto
satisfazem a propriedade "
".
b) Há disciplinas com número ímpar de créditos no catálogo de disciplinas da UFABC.
c) Pessoa 1 diz: Existem disciplinas em que todos os alunos são aprovados. Pessoa 2 responde: Não, há disciplinas em que alunos são reprovados.
Pessoa 3 completa: Em toda disciplina há reprovado(s)!
Pessoa 2 negou Pessoa 1? Pessoa 3 negou Pessoa 1? É possível que duas dessas frases não se contradigam?
a) Todos os elementos do conjunto
b) Há disciplinas com número ímpar de créditos no catálogo de disciplinas da UFABC.
c) Pessoa 1 diz: Existem disciplinas em que todos os alunos são aprovados. Pessoa 2 responde: Não, há disciplinas em que alunos são reprovados.
Pessoa 3 completa: Em toda disciplina há reprovado(s)!
Passo 1
O enunciado pede:
a) Negar a afirmação “Todos os elementos do conjunto satisfazem a propriedade
”.
b) Negar a afirmação “Há disciplinas com número ímpar de créditos no catálogo de disciplinas da UFABC”.
c) Dadas três pessoas com afirmações sobre aprovação em disciplinas, determinar se a Pessoa 2 nega a 1, se a Pessoa 3 nega a 1, e verificar se é possível que duas dessas frases não se contradigam. Para isso vamos usar lógica de predicados e as leis de negação de quantificadores.
a) Negar a afirmação “Todos os elementos do conjunto
b) Negar a afirmação “Há disciplinas com número ímpar de créditos no catálogo de disciplinas da UFABC”.
c) Dadas três pessoas com afirmações sobre aprovação em disciplinas, determinar se a Pessoa 2 nega a 1, se a Pessoa 3 nega a 1, e verificar se é possível que duas dessas frases não se contradigam. Para isso vamos usar lógica de predicados e as leis de negação de quantificadores.
Passo 2
Negação de a):
A afirmação original é
A afirmação original é
Negando, troca-se
por
e nega-se a propriedade:
Passo 3
Negação de b):
A afirmação original é
A afirmação original é
Negando, troca-se
por
e nega-se a propriedade “ímpar”:
Passo 4
Formalização das frases em c):
Pessoa 1: “Existem disciplinas em que todos os alunos são aprovados.”
Pessoa 1: “Existem disciplinas em que todos os alunos são aprovados.”
Pessoa 2: “Não, há disciplinas em que alunos são reprovados.”
Pessoa 3: “Em toda disciplina há reprovado(s)!”
Negação de
é
que coincide com
.
Passo 5
Pessoa 2 negou Pessoa 1?
A negação completa de é
, isto é,
. Mas
diz apenas
, que é mais fraco que
. Portanto Pessoa 2 não negou completamente Pessoa 1.
A negação completa de
Passo 6
Pessoa 3 negou Pessoa 1?
Sim, pois é exatamente
. Logo Pessoa 3 negou Pessoa 1.
Sim, pois
Passo 7
É possível que duas dessas frases não se contradigam?
-
e podem ser verdadeiras simultaneamente: basta ter uma disciplina onde todos passam (satisfaz ) e outra onde há reprovações (satisfaz ). -
e também podem coexistir porque implica . - Já
e são mutuamente excludentes é a negação de .
Resposta
a)
.
b) .
c) Pessoa 2 não negou Pessoa 1. Pessoa 3 negou Pessoa 1. É possível que as frases de Pessoa 1 e Pessoa 2 não se contradigam, e também que as de Pessoa 2 e Pessoa 3 não se contradigam, mas Pessoa 1 e Pessoa 3 são contraditórias.
b)
c) Pessoa 2 não negou Pessoa 1. Pessoa 3 negou Pessoa 1. É possível que as frases de Pessoa 1 e Pessoa 2 não se contradigam, e também que as de Pessoa 2 e Pessoa 3 não se contradigam, mas Pessoa 1 e Pessoa 3 são contraditórias.