Escreva os nímeros complexos abaixo em sua forma polar.
Z=-4 raiz3-4 i

Passo 1

A questão pede para escrever o número complexo Z = -4raiz3 - 4i na forma polar, ou seja, encontrar o módulo r e o argumento theta. Vamos precisar usar as fórmulas r = |Z| = raizx^2 + y^2 e theta = atan2(y,x).

Passo 2

Calculamos primeiro o módulo do número complexo:
r = |Z| = raiz(-4raiz3)^2 + (-4)^2 = raiz48 + 16 = raiz64 = 8

Passo 3

Agora determinamos o argumento theta. Como x = -4raiz3 e y = -4, temos
tan(theta) = yx = -4-4raiz3 = 1raiz3 implies thetaref = pi6
Mas o ponto (x,y) está no terceiro quadrante (x<0, y<0), então
theta = pi + pi6 = 7pi6

Passo 4

Finalmente, escrevemos Z na forma polar usando r e theta:
Z = rl(costheta + isinthetar) = 8l(cos7pi6 + isin7pi6r)
Também podemos usar a forma exponencial: Z = 8e^i7pi6.

Resposta

8(costfrac7pi6 + isintfrac7pi6) ou 8e^itfrac7pi6

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