Um losango possui como vértices os pontos (2,-4), (4,4) e (-6,-2). Sendo (-1,1) o ponto de encontro das diagonais, determine o quarto vértice e a área do losango.

Passo 1

O enunciado: temos um losango com vértices em (2,−4), (4,4), (−6,−2) e ponto de encontro das diagonais em (−1,1). O conteúdo é geometria analítica no plano, e vamos usar a propriedade de que em um paralelogramo (e, portanto, em um losango) as diagonais se bissetam em seu ponto médio. Para achar o quarto vértice, precisamos identificar quais dos três dados são opostos e depois usar a fórmula do ponto médio. Para a área, usaremos a fórmula área = (d₁·d₂)/2, onde d₁ e d₂ são as diagonais.

Passo 2

Calculamos os pontos médios entre cada par dado e comparamos com (−1,1): o ponto médio de A=(2,−4) e B=(4,4) é (3,0); de A e C=(−6,−2) é (−2,−3); de B e C é ((4+(−6))/2,(4+(−2))/2)=(−1,1), que coincide com o dado. Logo B e C são vértices opostos.

Passo 3

Como B e C são opostos, a outra diagonal liga A ao vértice P faltante, com ponto médio (−1,1). Pela fórmula do ponto médio:
l(2+xP2,-4+yP2r)=( -1,1 )
Daí 2+xP2=-1 xP=-4 e -4+yP2=1 yP=6. Portanto P=(−4,6).

Passo 4

Calculamos as diagonais pelo teorema de Pitágoras. Para B=(4,4) e C=(−6,−2):
d1=raiz(4-(-6))^2+(4-(-2))^2=raiz10^2+6^2=raiz136
Para A=(2,−4) e P=(−4,6):
d2=raiz(2-(-4))^2+(-4-6)^2=raiz6^2+(-10)^2=raiz136
Assim a área do losango é
d1,d22=raiz136,raiz1362=1362=68

Resposta

O quarto vértice é (-4,6) e a área do losango é 68.

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