Um losango possui como vértices os pontos
,
e
. Sendo
o ponto de encontro das diagonais, determine o quarto vértice e a área do losango.
Passo 1
O enunciado: temos um losango com vértices em (2,−4), (4,4), (−6,−2) e ponto de encontro das diagonais em (−1,1). O conteúdo é geometria analítica no plano, e vamos usar a propriedade de que em um paralelogramo (e, portanto, em um losango) as diagonais se bissetam em seu ponto médio. Para achar o quarto vértice, precisamos identificar quais dos três dados são opostos e depois usar a fórmula do ponto médio. Para a área, usaremos a fórmula área = (d₁·d₂)/2, onde d₁ e d₂ são as diagonais.
Passo 2
Calculamos os pontos médios entre cada par dado e comparamos com (−1,1): o ponto médio de A=(2,−4) e B=(4,4) é (3,0); de A e C=(−6,−2) é (−2,−3); de B e C é ((4+(−6))/2,(4+(−2))/2)=(−1,1), que coincide com o dado. Logo B e C são vértices opostos.
Passo 3
Como B e C são opostos, a outra diagonal liga A ao vértice P faltante, com ponto médio (−1,1). Pela fórmula do ponto médio:
Daí
dá
e
dá
. Portanto P=(−4,6).
Passo 4
Calculamos as diagonais pelo teorema de Pitágoras. Para B=(4,4) e C=(−6,−2):
Para A=(2,−4) e P=(−4,6):
Assim a área do losango é
Resposta
O quarto vértice é
e a área do losango é
.