Escreva o número complexo na forma retangular z=x+i y
z=12(cos (pi / 6)+i sin (pi / 6))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número complexo dado na forma polar: z = 12(cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) . Nosso objetivo é escrever esse número na forma retangular, que é z = x + i y . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre números complexos, especificamente como converter de forma polar para retangular. Vamos precisar aplicar as fórmulas que relacionam o módulo e o argumento do número complexo com seus componentes reais e imaginários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que usam a conversão de polar para retangular. Se temos um número complexo na forma polar z = r(cos theta + i sin theta) , então suas partes retangulares x e y são dadas por:
x = r cos theta
y = r sin theta
Aqui, r é o módulo do número complexo e theta é o argumento (ou ângulo).

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de r e theta no nosso caso. No enunciado, temos:
r = 12
theta = pi6
Precisamos calcular cos ( pi6 ) e sin ( pi6 ) .
Sabemos que:
cos ( pi6 ) = raiz32
sin ( pi6 ) = 12

Passo 4

Agora, vamos calcular x e y usando as fórmulas que vimos:
x = 12 times raiz32 = 6raiz3
y = 12 times 12 = 6
Então, encontramos os valores das partes real e imaginária do número complexo.

Passo 5

Finalmente, substituímos os valores de x e y na forma retangular do número complexo:
z = x + i y = 6raiz3 + 6i

Resposta

O número complexo na forma retangular é z = 6raiz3 + 6i .

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